「不等式」について
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国立 秋田大学 2012年 第1問$a$は$\displaystyle a>-\frac{1}{2}$を満たす実数とし，$f(x)=x^2-2ax$とおく．次の問いに答えよ．
(1)2次関数$y=f(x)$のグラフの頂点を求めよ．
(2)2次不等式$f(x) \geqq x$を解け．
(3)$x$が$f(x) \geqq x$を満たす範囲を動くとき，$f(x)$の最小値を求めよ．
(1)2次関数$y=f(x)$のグラフの頂点を求めよ．
(2)2次不等式$f(x) \geqq x$を解け．
(3)$x$が$f(x) \geqq x$を満たす範囲を動くとき，$f(x)$の最小値を求めよ．
国立 琉球大学 2012年 第4問$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n \theta \, d\theta (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$I_1$および$I_n+I_{n+2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ．
(2)不等式$I_n \geqq I_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nI_n$を求めよ．
(1)$I_1$および$I_n+I_{n+2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ．
(2)不等式$I_n \geqq I_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nI_n$を求めよ．
国立 徳島大学 2012年 第3問次の問いに答えよ．
(1)実数$x,\ y$が$x+y=5,\ x^3+y^3=50$を満たすとき，$xy,\ x^2+y^2,\ x^5+y^5$の値を求めよ．
(2)$x>1$とする．不等式$\displaystyle \log_2 \frac{x}{4^3}+\log_x 4^4<0$を解け．
(1)実数$x,\ y$が$x+y=5,\ x^3+y^3=50$を満たすとき，$xy,\ x^2+y^2,\ x^5+y^5$の値を求めよ．
(2)$x>1$とする．不等式$\displaystyle \log_2 \frac{x}{4^3}+\log_x 4^4<0$を解け．
国立 旭川医科大学 2012年 第4問曲線$C:y=\log x$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}(b,\ \log b)$をとり，$C$の$\mathrm{A}$における接線と$\mathrm{B}$における接線の交点について考える．次の問いに答えよ．
(1)任意に与えられた$a>1$に対して，$2$本の接線の交点がちょうど直線$x=1$上にくるような$b$が唯一つだけ存在し，$b<1$であることを示せ．
(2)$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}\displaystyle \left( \frac{1}{a},\ \log \frac{1}{a} \right) \ (a>1)$について，$2$本の接線の交点の$x$座標が$1$より大きいか小さいかを調べよ．
(3)$k$を自然数とする．$\displaystyle a=1+\frac{1}{k}$として(2)の結果を使って，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} > \frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{n} \right) +\log n \quad (n \geqq 2) \]
(1)任意に与えられた$a>1$に対して，$2$本の接線の交点がちょうど直線$x=1$上にくるような$b$が唯一つだけ存在し，$b<1$であることを示せ．
(2)$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}\displaystyle \left( \frac{1}{a},\ \log \frac{1}{a} \right) \ (a>1)$について，$2$本の接線の交点の$x$座標が$1$より大きいか小さいかを調べよ．
(3)$k$を自然数とする．$\displaystyle a=1+\frac{1}{k}$として(2)の結果を使って，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} > \frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{n} \right) +\log n \quad (n \geqq 2) \]
国立 福島大学 2012年 第1問以下の問いに答えなさい．
(1)次の方程式を満たす$x$と$y$を求めなさい．
\[ |xy-2x-y+2|+|1-e^{x+y|}=0 \]
(2)次の不等式を解きなさい．
\[ 3 \log_{0.5}(x-1)>\log_{0.5}(-x^2+6x-7) \]
(3)次の定積分を求めなさい．
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \sin 2x \, dx \]
(4)関数$f(x)=e^{\sin x}$を微分しなさい．
(1)次の方程式を満たす$x$と$y$を求めなさい．
\[ |xy-2x-y+2|+|1-e^{x+y|}=0 \]
(2)次の不等式を解きなさい．
\[ 3 \log_{0.5}(x-1)>\log_{0.5}(-x^2+6x-7) \]
(3)次の定積分を求めなさい．
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \sin 2x \, dx \]
(4)関数$f(x)=e^{\sin x}$を微分しなさい．
国立 長崎大学 2012年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$m$を5以上の自然数とする．次の不等式が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
\[ m!>2^m>m^2 \]
(2)自然数$n$に対する次の和を求めよ．
\[ S_n=\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)} \]
(3)(2)で求めた$S_n$について，$\displaystyle S_n<\frac{3}{4}$が成り立つことを示せ．
(4)(2)で求めた$S_n$について，$\displaystyle S_n>\frac{2}{3}$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
(1)$m$を5以上の自然数とする．次の不等式が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
\[ m!>2^m>m^2 \]
(2)自然数$n$に対する次の和を求めよ．
\[ S_n=\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)} \]
(3)(2)で求めた$S_n$について，$\displaystyle S_n<\frac{3}{4}$が成り立つことを示せ．
(4)(2)で求めた$S_n$について，$\displaystyle S_n>\frac{2}{3}$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
国立 山形大学 2012年 第2問数列$\{a_n\}$が条件
\[ a_1=-\frac{1}{4},\quad a_{n+1}={a_n}^2-\frac{1}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定められている．このとき，次の問に答えよ．
(1)不等式$\displaystyle -\frac{1}{4} \leqq a_n<0 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$a_{2n-1}<a_{2n+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(3)不等式$a_{2n}>a_{2n+2} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(4)不等式
\[ 0<a_{2n}-a_{2n-1} \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^{2(n+1)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つことを示せ．
\[ a_1=-\frac{1}{4},\quad a_{n+1}={a_n}^2-\frac{1}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定められている．このとき，次の問に答えよ．
(1)不等式$\displaystyle -\frac{1}{4} \leqq a_n<0 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$a_{2n-1}<a_{2n+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(3)不等式$a_{2n}>a_{2n+2} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(4)不等式
\[ 0<a_{2n}-a_{2n-1} \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^{2(n+1)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つことを示せ．
国立 山形大学 2012年 第3問自然数$n$に対して
\[ S(x)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}x^{2k-2},\quad R(x)=\frac{(-1)^n x^{2n}}{1+x^2} \]
とする．さらに$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)等式$\displaystyle \int_0^1 S(x) \, dx=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\frac{1}{2k-1}$が成り立つことを示せ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ．
(3)等式$S(x)=f(x)-R(x)$が成り立つことを示せ．
(4)不等式$\displaystyle |\int_0^1 R(x) \, dx| \leqq \frac{1}{2n+1}$が成り立つことを示せ．
(5)無限級数$\displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$の和を求めよ．
\[ S(x)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}x^{2k-2},\quad R(x)=\frac{(-1)^n x^{2n}}{1+x^2} \]
とする．さらに$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)等式$\displaystyle \int_0^1 S(x) \, dx=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\frac{1}{2k-1}$が成り立つことを示せ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ．
(3)等式$S(x)=f(x)-R(x)$が成り立つことを示せ．
(4)不等式$\displaystyle |\int_0^1 R(x) \, dx| \leqq \frac{1}{2n+1}$が成り立つことを示せ．
(5)無限級数$\displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$の和を求めよ．
国立 大阪教育大学 2012年 第1問$a,\ b,\ c$を自然数とするとき，次の不等式を示せ．
(1)$2^{a+b} \geqq 2^a+2^b$
(2)$2^{a+b+c} \geqq 2^a+2^b+2^c+2$
(3)$2^{a+b+c} \geqq 2^{a+b}+2^{b+c}+2^{c+a}-4$
(1)$2^{a+b} \geqq 2^a+2^b$
(2)$2^{a+b+c} \geqq 2^a+2^b+2^c+2$
(3)$2^{a+b+c} \geqq 2^{a+b}+2^{b+c}+2^{c+a}-4$
国立 大阪教育大学 2012年 第3問$n$は自然数とする．次の問に答えよ．
(1)次の不等式を示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}<2 \]
(2)$x>0$のとき，次の不等式を示せ．
\[ x-\frac{x^3}{6}<\sin x<x \]
(3)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^n k \sin \frac{1}{k} \right) \]
(1)次の不等式を示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}<2 \]
(2)$x>0$のとき，次の不等式を示せ．
\[ x-\frac{x^3}{6}<\sin x<x \]
(3)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^n k \sin \frac{1}{k} \right) \]