「不等式」について
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国立 佐賀大学 2012年 第3問次の問いに答えよ．
(1)不等式$\log_{x(1-x)} \{x(y-1)\} \leqq 0$の表す領域を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が上の不等式の表す領域を動くとき，$2x+y$の最小値を求めよ．
(1)不等式$\log_{x(1-x)} \{x(y-1)\} \leqq 0$の表す領域を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が上の不等式の表す領域を動くとき，$2x+y$の最小値を求めよ．
国立 富山大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(2)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(2)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
国立 富山大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(2)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(2)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
国立 富山大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(2)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(2)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
国立 富山大学 2012年 第3問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^x \geqq 1+x \]
(2)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^x \geqq 1+x \]
(2)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
国立 岐阜大学 2012年 第5問$a$を正の実数とする．$xy$平面上に放物線$C:y=x^2-2ax+a^2+1$と2つの直線$\ell_1:y=-2ax+6$，$\ell_2:y=2$がある．$\ell_1$と$\ell_2$の交点が不等式$y>x^2-2ax+a^2+1$の表す領域にあるとき，以下の問に答えよ．
(1)$a$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$C$と$\ell_1$の2つの交点の$x$座標，$C$と$\ell_2$の2つの交点の$x$座標をそれぞれ求めよ．
(3)$C$と$\ell_1$の2つの交点間の距離を求めよ．
(4)(3)で求めた距離が最大となるときの$a$の値を求めよ．
(1)$a$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$C$と$\ell_1$の2つの交点の$x$座標，$C$と$\ell_2$の2つの交点の$x$座標をそれぞれ求めよ．
(3)$C$と$\ell_1$の2つの交点間の距離を求めよ．
(4)(3)で求めた距離が最大となるときの$a$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2012年 第3問単位時間あたり一定量の水の出るポンプを使ってプールに水を入れることを考える．以下の問いに答えよ．
(1)プールに水をいっぱい入れるのに，ポンプIを使うと2時間，ポンプIIを使うと3時間かかるとする．IとIIを同時に使うと何時間かかるか．
(2)プールに水をいっぱい入れるのに，ポンプAを使うと$a$時間，ポンプBを使うと$b$時間かかるとする．AとBを同時に使うと何時間かかるか．
(3)プールに水をいっぱい入れるのに，ポンプC$_1$，ポンプC$_2$いずれを使っても$c$時間かかるとする．C$_1$とC$_2$を同時に使うと，(2)で求めた時間と同じ時間がかかったという．$c$を$a$と$b$を用いて表せ．
(4)$c$を(3)で求めた$a,\ b$の式とするとき，不等式$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq c$が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのは$a=b$の場合に限ることを示せ．
(1)プールに水をいっぱい入れるのに，ポンプIを使うと2時間，ポンプIIを使うと3時間かかるとする．IとIIを同時に使うと何時間かかるか．
(2)プールに水をいっぱい入れるのに，ポンプAを使うと$a$時間，ポンプBを使うと$b$時間かかるとする．AとBを同時に使うと何時間かかるか．
(3)プールに水をいっぱい入れるのに，ポンプC$_1$，ポンプC$_2$いずれを使っても$c$時間かかるとする．C$_1$とC$_2$を同時に使うと，(2)で求めた時間と同じ時間がかかったという．$c$を$a$と$b$を用いて表せ．
(4)$c$を(3)で求めた$a,\ b$の式とするとき，不等式$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq c$が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのは$a=b$の場合に限ることを示せ．
国立 新潟大学 2012年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$k,\ n$は不等式$k \leqq n$を満たす自然数とする．このとき，
\[ 2^{k-1}n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1) \leqq n^k k! \]
が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して，$\displaystyle \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n<3$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \frac{9}{19} < \log_{10}3 < \frac{1}{2}$が成り立つことを示せ．
(1)$k,\ n$は不等式$k \leqq n$を満たす自然数とする．このとき，
\[ 2^{k-1}n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1) \leqq n^k k! \]
が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して，$\displaystyle \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n<3$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \frac{9}{19} < \log_{10}3 < \frac{1}{2}$が成り立つことを示せ．
国立 新潟大学 2012年 第5問次の問いに答えよ．
(1)実数$x \geqq 0$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ x-\frac{1}{2}x^2 \leqq \log (1+x) \leqq x \]
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=n^2 \int_0^{\frac{1}{n}} \log (1+x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=\sum_{k=1}^n \log \left( 1+\frac{k}{n^2} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
(1)実数$x \geqq 0$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ x-\frac{1}{2}x^2 \leqq \log (1+x) \leqq x \]
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=n^2 \int_0^{\frac{1}{n}} \log (1+x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=\sum_{k=1}^n \log \left( 1+\frac{k}{n^2} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
国立 秋田大学 2012年 第1問$a$は$\displaystyle a>-\frac{1}{2}$を満たす実数とし，$f(x)=x^2-2ax$とおく．次の問いに答えよ．
(1)2次関数$y=f(x)$のグラフの頂点を求めよ．
(2)2次不等式$f(x) \geqq x$を解け．
(3)$x$が$f(x) \geqq x$を満たす範囲を動くとき，$f(x)$の最小値を求めよ．
(1)2次関数$y=f(x)$のグラフの頂点を求めよ．
(2)2次不等式$f(x) \geqq x$を解け．
(3)$x$が$f(x) \geqq x$を満たす範囲を動くとき，$f(x)$の最小値を求めよ．