「不等式」について
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国立 広島大学 2012年 第5問$n$は$3$以上の整数とする．$1$から$n$までの整数から連続する$2$つの整数$x,\ x+1$を取り除く．次の問いに答えよ．
(1)$n=17$のとき，残された整数の総和を個数$15$で割った値が$\displaystyle \frac{42}{5}$であったとする．取り除いた$2$つの整数を求めよ．
(2)$n \geqq 39$のとき，不等式
\[ \frac{1}{2}n(n+1) -1 -2(n-1) > \frac{205}{11}(n-2) \]
が成り立つことを証明せよ．
(3)残された整数の総和を個数$n-2$で割った値が$\displaystyle \frac{205}{11}$であるとする．$n$と取り除いた$2$つの整数を求めよ．
(1)$n=17$のとき，残された整数の総和を個数$15$で割った値が$\displaystyle \frac{42}{5}$であったとする．取り除いた$2$つの整数を求めよ．
(2)$n \geqq 39$のとき，不等式
\[ \frac{1}{2}n(n+1) -1 -2(n-1) > \frac{205}{11}(n-2) \]
が成り立つことを証明せよ．
(3)残された整数の総和を個数$n-2$で割った値が$\displaystyle \frac{205}{11}$であるとする．$n$と取り除いた$2$つの整数を求めよ．
国立 滋賀大学 2012年 第2問点A$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{2} \right)$を不等式$y < 4x-4x^2$の表す領域内の点とし，点Aを通り傾き$m$の直線を$\ell$とする．直線$\ell$と放物線$y=4x-4x^2$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$m$を変化させたとき，$S$の最小値を$g(a)$とする．$g(a)$を与える$m$を$a$を用いて表せ．
(3)$g(a)$を最大にする$a$の値を求めよ．また，そのときの直線$\ell$の方程式を求めよ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$m$を変化させたとき，$S$の最小値を$g(a)$とする．$g(a)$を与える$m$を$a$を用いて表せ．
(3)$g(a)$を最大にする$a$の値を求めよ．また，そのときの直線$\ell$の方程式を求めよ．
国立 高知大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)不等式$x^2+y^2<1$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)不等式$|x|+|y|<2$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2<5$をみたすとき，$|x|<3$かつ$|y|<3$が成り立つことを示せ．
(4)任意の実数$x,\ y$に対して，$|x|+|y| \leqq 2\sqrt{x^2+y^2}$が成り立つことを示せ．
(1)不等式$x^2+y^2<1$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)不等式$|x|+|y|<2$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2<5$をみたすとき，$|x|<3$かつ$|y|<3$が成り立つことを示せ．
(4)任意の実数$x,\ y$に対して，$|x|+|y| \leqq 2\sqrt{x^2+y^2}$が成り立つことを示せ．
国立 弘前大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x < 2\pi$のとき，不等式$\displaystyle 2 \sin x > \cos \left( x-\frac{\pi}{6} \right)$を解け．
(2)$\log_3 5=a,\ \log_5 7=b$とするとき，$\log_{105} 175$を$a$と$b$で表せ．
(1)$0 \leqq x < 2\pi$のとき，不等式$\displaystyle 2 \sin x > \cos \left( x-\frac{\pi}{6} \right)$を解け．
(2)$\log_3 5=a,\ \log_5 7=b$とするとき，$\log_{105} 175$を$a$と$b$で表せ．
国立 岩手大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)2次不等式$x^2+(a-3)x+a>0$がすべての実数$x$について成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)半径1の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．
(3)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( e^{\frac{1}{n}} +2e^{\frac{2}{n}} +3e^{\frac{3}{n}}+\cdots + ne^{\frac{n}{n}} \right) \]
(1)2次不等式$x^2+(a-3)x+a>0$がすべての実数$x$について成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)半径1の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．
(3)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( e^{\frac{1}{n}} +2e^{\frac{2}{n}} +3e^{\frac{3}{n}}+\cdots + ne^{\frac{n}{n}} \right) \]
国立 岩手大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)2次不等式$x^2+(a-3)x+a>0$がすべての実数$x$について成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{6}=\frac{z+3x}{7} \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{2x^2-2y^2+9z^2}{4x^2+y^2-8z^2}$の値を求めよ．
(3)半径1の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．
(1)2次不等式$x^2+(a-3)x+a>0$がすべての実数$x$について成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{6}=\frac{z+3x}{7} \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{2x^2-2y^2+9z^2}{4x^2+y^2-8z^2}$の値を求めよ．
(3)半径1の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．
国立 岩手大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)2次不等式$x^2+(a-3)x+a>0$がすべての実数$x$について成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{6}=\frac{z+3x}{7} \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{2x^2-2y^2+9z^2}{4x^2+y^2-8z^2}$の値を求めよ．
(3)半径1の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．
(1)2次不等式$x^2+(a-3)x+a>0$がすべての実数$x$について成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{6}=\frac{z+3x}{7} \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{2x^2-2y^2+9z^2}{4x^2+y^2-8z^2}$の値を求めよ．
(3)半径1の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．
国立 高知大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)不等式$x^2+y^2<1$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)不等式$|x|+|y|<2$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2<5$をみたすとき，$|x|<3$かつ$|y|<3$が成り立つことを示せ．
(4)任意の実数$x,\ y$に対して，$|x|+|y| \leqq 2\sqrt{x^2+y^2}$が成り立つことを示せ．
(1)不等式$x^2+y^2<1$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)不等式$|x|+|y|<2$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2<5$をみたすとき，$|x|<3$かつ$|y|<3$が成り立つことを示せ．
(4)任意の実数$x,\ y$に対して，$|x|+|y| \leqq 2\sqrt{x^2+y^2}$が成り立つことを示せ．
国立 高知大学 2012年 第2問$n$を自然数とし，3つの不等式$\displaystyle y \leqq -\frac{x}{n}+2,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$をすべてみたす整数の組$(x,\ y)$の個数を$a_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(3)$a_n$を$n$の式で表せ．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．このとき，$S_n=510$となる$n$を求めよ．
(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(3)$a_n$を$n$の式で表せ．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．このとき，$S_n=510$となる$n$を求めよ．
国立 高知大学 2012年 第4問次の問いに答えよ．
(1)次の不定積分を求めよ．
\[ \int \log (1+x) \, dx \]
(2)関数$f(x)$が区間$[0,\ 1]$で連続な増加関数であって，常に$f(x) \geqq 0$であるものとする．また，$n$を自然数とする．このとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ 0 \leqq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) -\int_0^1 f(x) \, dx \leqq \frac{1}{n} \{ f(1)-f(0) \} \]
(3)$f(x)=\log (1+x)$に対して(2)の結果を用いて，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n} \log \left\{ \left( 1+\frac{1}{n} \right) \left( 1+\frac{2}{n} \right) \cdots \left( 1+\frac{n}{n} \right) \right\} \right] \]
(1)次の不定積分を求めよ．
\[ \int \log (1+x) \, dx \]
(2)関数$f(x)$が区間$[0,\ 1]$で連続な増加関数であって，常に$f(x) \geqq 0$であるものとする．また，$n$を自然数とする．このとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ 0 \leqq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) -\int_0^1 f(x) \, dx \leqq \frac{1}{n} \{ f(1)-f(0) \} \]
(3)$f(x)=\log (1+x)$に対して(2)の結果を用いて，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n} \log \left\{ \left( 1+\frac{1}{n} \right) \left( 1+\frac{2}{n} \right) \cdots \left( 1+\frac{n}{n} \right) \right\} \right] \]