座標平面上で2つの不等式
\[ y \geqq \frac{1}{2}x^2,\quad \frac{x^2}{4}+4y^2 \leqq \frac{1}{8} \]
によって定まる領域を$S$とする．$S$を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を$V_1$とし，$y$軸のまわりに回転してできる立体の体積を$V_2$とする．

(1)$V_1$と$V_2$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle\frac{V_2}{V_1}$の値と1の大小を判定せよ．

$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(a+3,\ b)$，$\mathrm{C}(a+1,\ b+2)$がある．不等式$y \geqq x^2$の表す領域を$D$，不等式$y \leqq x^2$の表す領域を$E$とする．

(1)点$\mathrm{C}$が領域$D$に含まれ，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$が領域$E$に含まれるような$a,\ b$の条件を連立不等式で表せ．
(2)$(1)$で求めた条件を満たす点$(a,\ b)$の領域$F$を$ab$平面上に図示せよ．
(3)$(2)$で求めた領域$F$の面積を求めよ．

$a$を正の実数とし，$x,\ y$に関する次の不等式を考える．
\[ \begin{array}{ll}
3y \geqq 5x & \cdots\cdots① \\
4y \geqq 7a & \cdots\cdots② \\
x-y \geqq 3-a & \cdots\cdots③
\end{array} \]

(1)$①,\ ②$を同時に満たす点$(x,\ y)$のなす領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)$①,\ ②,\ ③$を同時に満たす実数の組$(x,\ y)$が存在するような$a$の範囲を求めよ．

$xy$平面上で考える．不等式$y < -x^2+16$の表す領域を$D$とし，不等式$|x-1|+|y| \leqq 1$の表す領域を$E$とする．このとき，以
下の問いに答えよ．

(1)領域$D$と領域$E$をそれぞれ図示せよ．
(2)A$(a,\ b)$を領域$D$に属する点とする．点A$(a,\ b)$を通り傾きが$-2a$の直線と放物線$y=-x^2+16$で囲まれた部分の面積を$S(a,\ b)$とする．$S(a,\ b)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)点A$(a,\ b)$が領域$E$を動くとき，$S(a,\ b)$の最大値を求めよ．

座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の座標の値$x$と$y$がともに整数であるとき，点$\mathrm{P}$を平面上の格子点と呼ぶ．このとき下記の設問に答えなさい．

(1)不等式$|x|+|y|<3$の表す領域$A$を図示しなさい．また，領域$A$内の格子点の個数を求めなさい．
(2)不等式$x^2+y \leqq 2$の表す領域$B$を図示しなさい．また，領域$B$内の格子点の個数を求めなさい．
(3)$2$つの不等式$x^2 \leqq a^2,\ y^2 \leqq a^2$の表す領域を$C$とする．領域$A$内の格子点全体から領域$B$内のすべての格子点を除いた集合を$D$とする．領域$C$と集合$D$との共通部分が空集合となる$a$の条件を求めなさい．

放物線$y=x^2$上の点$(a,\ a^2)$における接線を$\ell_a$とする．

(1)直線$\ell_a$が不等式
\[ y> -x^2+2x-5 \]
の表す領域に含まれるような$a$の範囲を求めよ．
(2)$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，直線$\ell_a$が通らない点$(x,\ y)$全体の領域$D$を図示せよ．
(3)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
(y-x^2)(y+x^2-2x+5) \leqq 0 \\
y(y+5) \leqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域を$E$とする．$D$と$E$の共通部分の面積を求めよ．

$f(x)=\log_2 (x-1)+\log_2 (4-x)$とする．次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)不等式$f(x) \geqq 0$を解け．
(3)関数$f(x)$の最大値を$m$とするとき，$2^{m-2}$を求めよ．
(4)(3)の$m$について，$1000^m$の整数部分の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}$上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{A}$の$x$座標は$3$である．点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$における$C$の接線をそれぞれ$\ell,\ m$とし，$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{P}$とおくと，$\angle \mathrm{APB} = 45^\circ$であった．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$m$の傾きを求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(4)$C,\ \ell,\ m$で囲まれた図形において，不等式$x \geqq 0$を満たす部分の面積$S$を求めよ．

自然対数の底を$e$とする．以下の問に答えよ．

(1)$e<3$であることを用いて，不等式$\displaystyle \log 2 > \frac{3}{5}$が成り立つことを示せ．
(2)関数$\displaystyle f(x) = \frac{\sin x}{1+\cos x}-x$の導関数を求めよ．
(3)積分
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\cos x} \, dx \]
の値を求めよ．
(4)(3)で求めた値が正であるか負であるかを判定せよ．

$a_1$を$\displaystyle \frac{\pi}{12} < a_1 < \frac{\pi}{4}$を満たす数とし，$\{a_n\}$を
\[ a_{n+1} = 1-\sin \;a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$y=1-x$と曲線$y=\sin x$は，$\displaystyle \frac{\pi}{12} < x < \frac{\pi}{4}$の範囲でただ1つの交点をもつことを示せ．
(2)$n$を自然数とするとき，不等式$\displaystyle \frac{\pi}{12} < a_n < \frac{\pi}{4}$を示せ．
(3)(1)の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha$が成り立つことを示せ．