不等式
\[ (\log_3 x)^2+3 \log_x 81<13 \]
の解は
\[ \frac{[ア]}{[イ][ウ]}<x<[エ],\quad [オ]<x<[カ][キ] \]
である．

次の空欄$[ア],\ [イ]$に「真」または「偽」のいずれかを記入せよ．また空欄$[ウ]$～$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)ある自然数$n$について，命題「$n$が偶数ならば$n^2$は偶数である」の逆は$[ア]$，対偶は$[イ]$である．
(2)$3$次方程式$x^3+2x^2-8x-21=0$の解は$x=[ウ],\ [エ],\ [オ]$である．
(3)${(2x+\cos \theta)}^3$を展開したときの$x^2$の係数が$-6$のとき，$\theta=[カ]$である．ただし，$0 \leqq \theta<\pi$とする．
(4)$2$次方程式$x^2-2(k+1)x+2k^2=0$が実数解をもつような実数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(5)不等式$-1+2 \log_2 (x+1)>\log_{\frac{1}{2}}(2-x)$を満たす$x$の値の範囲は$[ク]$である．
(6)$\mathrm{A}$君が徒歩と自転車で移動した．スタート地点から途中まで分速$80 \, \mathrm{m}$で$30$分歩き，その後自転車に乗って$10$分進んでゴールに着いたところ，平均の速さは分速$130 \, \mathrm{m}$であった．このときの自転車の速さは分速$[ケ] \, \mathrm{m}$である．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ -2,\ 1)$と$\overrightarrow{b}=(x,\ y,\ -1)$の大きさが等しく，なす角が${60}^\circ$のとき，$x$の値は$[コ]$，$[サ]$である．
(8)数列$1,\ 11,\ 111,\ 1111,\ 11111,\ \cdots$の第$n$項を$n$の式で表すと，$[シ]$となる．

次の空欄$[ア]$～$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)不等式$x |x+2|<2x$の解は$[ア]$である．

(2)$a$を実数とする．$\displaystyle \frac{3+i}{1+ai}$の実部と虚部の和が$0$であるとき，$a=[イ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)座標平面上の点$(2,\ 1)$から円$x^2+y^2=1$へ引いた接線の方程式は$y=1$と$y=[ウ]$である．
(4)${128}^{\frac{1}{6}},\ 8^{\frac{2}{5}},\ {81}^{\frac{1}{5}}$のうち最大のものは$[エ]$である．
(5)$\cos {165}^\circ$の値は$[オ]$である．
(6)平面上に三角形$\mathrm{OAB}$と点$\mathrm{P}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[カ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[キ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(7)数列$\{a_k\}$は$a_1=0$と漸化式$a_{k+1}=2a_k+1 (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められている．このとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \log_8 (1+a_k)=[ク]$である．
(8)数字の$1$が書かれたカードが$1$枚，数字の$2$が書かれたカードが$2$枚，数字の$3$が書かれたカードが$3$枚ある．この$6$枚のカード全部を$1$列に並べるとき，数字の$2$が書かれたカードが連続して並ぶ確率は$[ケ]$である．

次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さは$[ア]$である．
(2)$\tan {75}^\circ$の値は$[イ]$である．
(3)$5^x-5^{-x}=6$のとき，$5^x+5^{-x}=[ウ]$である．

(4)$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{81}}=[エ]$である．

(5)$4$次方程式$2x^4-5x^2-3=0$の解は$x=[オ],\ [カ],\ [キ],\ [ク]$である．
(6)$2$点$\mathrm{A}(-6,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(-4,\ 2,\ 7)$からの距離が等しい点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$のうち，$x,\ y,\ z$がすべて正の整数となるのは$(x,\ y,\ z)=[ケ]$である．
(7)不等式$\sqrt{|x-3|}<5$を満たす$x$の範囲は，$[コ]$である．
(8)正六角形の頂点を反時計回りに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=[サ]$である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)座標平面上の放物線$C:y=a(x-b)^2$（$a,\ b$は正の定数）が点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{4}{5},\ \frac{3}{5} \right)$を通り，点$\mathrm{A}$における$C$の法線が原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るとき，$\displaystyle a=\frac{[アイ]}{[ウエ]}$，$\displaystyle b=\frac{[オカ]}{[キク]}$である．
(2)不等式
\[ \log (n+9)-\log (n+8)<\frac{1}{100} \]
をみたす最小の正の整数$n$の値は$n=[ケコ]$である．ただし，対数は自然対数とする．

次の不等式を解きなさい．
\[ (\log_2 4x) \times (\log_2 8x) \leqq 12 \]

$a,\ b$をいずれも正の数とする．次の問いに答えよ．

(1)$x$を正の数とするとき，次の不等式を証明せよ．
\[ a^{x+1}+b^{x+1} \geqq ab^x+a^xb \]
(2)$n$を自然数とするとき，次の不等式を証明せよ．
\[ \left( \frac{a+b}{2} \right)^n \leqq \frac{a^n+b^n}{2} \]
(3)$a+b \sqrt{2}=4$のとき，$a^4+4b^4$の最小値を求めよ．

$p,\ q$を実数の定数とする．$2$次関数$f(x)=x^2+px+q$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(a)=a$を満たす実数$a$が存在するための$p,\ q$についての必要十分条件を求めよ．
(2)$f(a)=b,\ f(b)=a$を満たす異なる実数$a,\ b$が存在することと，$p,\ q$が不等式$(p-1)^2-4(q+1)>0$を満たすことは同値であることを証明せよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}x^2-x+\log (x+1) (x>-1)$について，次の問いに答えよ．ただし，不等式$2<e<3$が成り立つことは使ってよい．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，凹凸，変曲点は調べなくてよい．
(2)$a \neq 0$かつ$f(a)=0$となる$a$はただ$1$つあって，$1<a<2$を満たすことを示せ．
(3)区間$[0,\ a]$において曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を$S_1$とし，区間$[a,\ 4]$において曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=4$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1<S_2$を示せ．

$f(x)=4x^2+2x+4$，$g(x)=x^2-x+1$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)すべての実数$x$に対して$f(x)>0$，$g(x)>0$が成り立つことを示せ．
(2)不等式
\[ \log_a \frac{f(x)}{g(x)}<\log_a (2a+1) \]
がすべての実数$x$に対して成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．ただし$a>0$，$a \neq 1$とする．