$x \geqq 0$において連続関数$f(x)$が不等式
\[ f(x) \leqq a+\int_0^x 2tf(t) \, dt \]
をみたしているとする．$g(x)=ae^{x^2}$とするとき，下の問いに答えよ．ただし，$a$は$0$以上の定数である．

(1)等式$\displaystyle g(x)=a+\int_0^x 2tg(t) \, dt$を示せ．
(2)$\displaystyle h(x)=e^{-x^2}\int_0^x 2tf(t) \, dt$とするとき，$x>0$において不等式$h^\prime(x) \leqq 2axe^{-x^2}$が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$において不等式$f(x) \leqq g(x)$が成り立つことを示せ．

$n$を$2$以上の自然数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \int_1^n \log x \, dx$を求めよ．
(2)関数$y=\log x$の定積分を利用して，次の不等式を証明せよ．
\[ (n-1)! \leqq n^n e^{-n+1} \leqq n! \]
(3)極限値
\[ \lim_{n \to \infty}\frac{\log (n!)}{n \log n} \]
を求めよ．

$0<x<2$とする．

(1)不等式$(\log_2x)^2+5 \log_2x<-6$を解け．
(2)不等式$\sin x+\cos 2x \geqq 1$を解け．
(3)次の$[　]$に最も適切なものを$①$～$④$からひとつ選び，その理由を説明せよ．
条件$p,\ q$を，
\[ \begin{array}{lll}
p &:& (\log_2 x)^2+5 \log_2 x<-6 \\
q &:& \sin x+\cos 2x \geqq 1
\end{array} \]
とする．$p$は$q$であるための$[　]$．
$①$ 必要条件である \quad $②$ 十分条件である \quad $③$ 必要十分条件である \quad $④$ 必要条件でも十分条件でもない

関数$\displaystyle f(x)=-\frac{5}{2}x(x-1)$を考える．$a$を実数とし，実数$b,\ c$を$b=f(a)$，$c=f(b)$により定める．

(1)不等式$a<b$を満たすような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)連立不等式
\[ (*) \quad \left\{ \begin{array}{l}
a<b \\
b>c
\end{array} \right. \]
を満たすような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)(2)の連立不等式$(*)$が成り立つとき，$c$と$f(c)$の大小を判定せよ．

$x>0,\ x \neq 1$を定義域とする次の$5$つの関数を考える．
\[ \frac{x^2+1}{2},\quad \frac{2x^2}{x^2+1},\quad x,\quad \left( \frac{x+1}{2} \right)^2,\quad \frac{x^2-1}{2 \log x} \]
このとき，次の問いに答えなさい．

(1)上の$5$つの関数の間に$[1]<[2]<[3]<[4]<[5]$の不等式が成立するとすれば，$[1]$から$[5]$にはどの関数が入るか．$x=2$を代入することによりそれらを決定しなさい．ただし，$\log 2=0.693 \cdots$とする．
(2)$[4]<[5]$の部分の不等式を証明しなさい．
(3)$[2]<[3]$の部分の不等式を証明しなさい．

$xy$平面において，連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0 \]
で定まる図形を$S$とする．$t$を$0<t<1$となる定数とし，$S$を直線$y=t$で$2$つの部分に切断する．$S_1$を$S$と領域$y \geqq t$の共通部分，$S_2$を$S$と領域$y \leqq t$の共通部分とする．

(1)図形$S_1,\ S_2$を描け．
(2)$S_1,\ S_2$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体をそれぞれ$V_1,\ V_2$とする．不等式
\[ \frac{(S_1 \ \text{の面積})}{(S_2 \ \text{の面積})} \geqq \frac{(V_1 \ \text{の体積})}{(V_2 \ \text{の体積})} \]
を示せ．

$\displaystyle f(x)=\tan x,\ g(x)=\frac{4x}{\pi (\pi-2x)}$とする．$xy$平面において，曲線$y=f(x)$ \ $\displaystyle \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$と$y=g(x)$ \ $\displaystyle \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$をそれぞれ$C_1,\ C_2$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$のとき，不等式$f(x)>g(x)$を証明しなさい．
(2)$\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{2}$のとき，$2$曲線$C_1,\ C_2$と直線$x=a$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{a \to \frac{\pi}{2}-0}S(a)$を求めなさい．
(3)$m$を実数とし，$2$曲線$C_1,\ C_2$と直線$y=mx+1$で囲まれた図形の面積を$T(m)$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{m \to \infty}T(m)$を求めなさい．

$a$を正の定数とし，$m$を自然数とする．$xy$平面上の$2$曲線$C_1:y=ax^2 \ (x \geqq 0)$，$C_2:y=(\log x)^{m} \ (x \geqq 1)$および点$\mathrm{P}$は次の条件を満たしている．

$C_1$と$C_2$は$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と$\mathrm{P}$における$C_2$の接線は一致する．
(1)$a$の値および$\mathrm{P}$の$x$座標を$m$を用いて表せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^m}{x^2} \ (x \geqq 1)$の最大値を求め，$x \geqq 1$において不等式$ax^2 \geqq (\log x)^m$が成り立つことを示せ．
(3)自然数$n$に対して，不定積分$\displaystyle \int (\log x)^n \, dx$を$I_n$とおく．$n \geqq 2$のとき，部分積分法により，$I_n$を$I_{n-1}$を用いて表せ．
(4)$m=2$のとき，$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle a_1=\frac{3}{2},\ a_{n+1}+2a_{n+1}a_n-3a_n=0 \ (n \geqq 1)$で与えられる数列$\{a_n\}$について，$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$の値を求めよ．また，一般項$a_n$を推測し，その推測の結果を数学的帰納法で証明せよ．
(2)$\displaystyle \frac{7}{12}\pi=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}$であることを利用して$\displaystyle \sin \frac{7}{12}\pi$を求め，$1 \leqq x \leqq 4$のとき，次の方程式を解け．
\[ \sin x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \]
(3)$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，$X=\log_2 \cos x$の範囲を求め，次の不等式を解け．
\[ 2(\log_2 \cos x)^2+(4-\log_2 3)\log_2 \cos x+2-\log_23 \leqq 0 \]
{\bf 注意：} $\log_2 \cos x$は$\log_2(\cos x)$を表す．

座標空間において，$xy$平面内で不等式$|x| \leqq 1$，$|y| \leqq 1$により定まる正方形$S$の$4$つの頂点を$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{D}(-1,\ -1,\ 0)$とする．正方形$S$を，直線$\mathrm{BD}$を軸として回転させてできる立体を$V_1$，直線$\mathrm{AC}$を軸として回転させてできる立体を$V_2$とする．

(1)$0 \leqq t<1$を満たす実数$t$に対し，平面$x=t$による$V_1$の切り口の面積を求めよ．
(2)$V_1$と$V_2$の共通部分の体積を求めよ．