「不等式」について
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（32ページ目：全633問中311問～320問を表示）
国立 岩手大学 2013年 第3問以下の問いに答えよ．
(1)不等式$\log_2x>1$を解け．
(2)不等式$\log_{\frac{1}{2}}x>1$を解け．
(3)座標平面上に，
\[ \log_2 (x+y)+\log_{\frac{1}{2}}(x-y) \]
が定義される領域を図示せよ．
(4)座標平面上に，不等式
\[ \log_2 (x+y)+\log_{\frac{1}{2}}(x-y)>1 \]
の表す領域を図示せよ．
(1)不等式$\log_2x>1$を解け．
(2)不等式$\log_{\frac{1}{2}}x>1$を解け．
(3)座標平面上に，
\[ \log_2 (x+y)+\log_{\frac{1}{2}}(x-y) \]
が定義される領域を図示せよ．
(4)座標平面上に，不等式
\[ \log_2 (x+y)+\log_{\frac{1}{2}}(x-y)>1 \]
の表す領域を図示せよ．
国立 宮城教育大学 2013年 第4問$x>0$のとき，以下の問いに答えよ．
(1)不等式$2 \sqrt{x}>\log x$を示せ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{1-\log x}{x^2}$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．
(1)不等式$2 \sqrt{x}>\log x$を示せ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{1-\log x}{x^2}$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．
国立 秋田大学 2013年 第2問$a,\ b,\ c,\ x,\ y,\ z$はすべて正の実数である．次の問いに答えよ．
(1)不等式$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geqq (ax+by+cz)^2$が成り立つことを証明せよ．
(2)(1)において等号が成り立つのはどのようなときかを示せ．
(3)$a^2+b^2+c^2=25$，$x^2+y^2+z^2=36$，$ax+by+cz=30$のとき，$\displaystyle \frac{a+b+c}{x+y+z}$の値を求めよ．
(1)不等式$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geqq (ax+by+cz)^2$が成り立つことを証明せよ．
(2)(1)において等号が成り立つのはどのようなときかを示せ．
(3)$a^2+b^2+c^2=25$，$x^2+y^2+z^2=36$，$ax+by+cz=30$のとき，$\displaystyle \frac{a+b+c}{x+y+z}$の値を求めよ．
国立 福島大学 2013年 第4問$n$を自然数とし，$a_n,\ b_n$を次のようにおく．
\[ a_n=-\int_0^\pi (e^x+e^{-x}) \sin 2nx \, dx,\quad b_n=\int_0^\pi (e^x-e^{-x}) \cos 2nx \, dx \]
以下の問いに答えよ．
(1)$a_n$と$b_n$をそれぞれ求めよ．
(2)$\displaystyle \int_n^{n+1} \frac{1}{4x^2-1} \, dx$を計算せよ．
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{(4n^2+1)b_n}{4n^2-1}>\frac{e^\pi-e^{-\pi}-2}{4} \log \frac{(2n+1)^2}{(2n-1)(2n+3)} \]
\[ a_n=-\int_0^\pi (e^x+e^{-x}) \sin 2nx \, dx,\quad b_n=\int_0^\pi (e^x-e^{-x}) \cos 2nx \, dx \]
以下の問いに答えよ．
(1)$a_n$と$b_n$をそれぞれ求めよ．
(2)$\displaystyle \int_n^{n+1} \frac{1}{4x^2-1} \, dx$を計算せよ．
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{(4n^2+1)b_n}{4n^2-1}>\frac{e^\pi-e^{-\pi}-2}{4} \log \frac{(2n+1)^2}{(2n-1)(2n+3)} \]
国立 徳島大学 2013年 第5問次の問いに答えよ．
(1)不等式$(x-1)^2-3 |x-1|+1<0$を満たす整数$x$をすべて求めよ．
(2)すべての自然数$n$に対して，$2^{n-1}+3^{3n-2}+7^{n-1}$が$5$の倍数であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(1)不等式$(x-1)^2-3 |x-1|+1<0$を満たす整数$x$をすべて求めよ．
(2)すべての自然数$n$に対して，$2^{n-1}+3^{3n-2}+7^{n-1}$が$5$の倍数であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
国立 高知大学 2013年 第3問$\log_{10}3=a$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$3^{20}>10^9,\ 3^{25}<10^{12}$を示せ．
(2)$0.45<a<0.48$を示せ．
(3)$6.54<15a-a^2<6.97$を示せ．
(4)次の$2$つの不等式をともにみたす実数の組$(x,\ y)$は存在しないことを示せ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2-2(1+a)x+y^2-4(2-a)y+a^2-2a+8 \leqq 0 \\
x^2-6(2+a)x+y^2-2(3-a)y+9a^2+38a+29 \leqq 0
\end{array} \right. \]
(1)$3^{20}>10^9,\ 3^{25}<10^{12}$を示せ．
(2)$0.45<a<0.48$を示せ．
(3)$6.54<15a-a^2<6.97$を示せ．
(4)次の$2$つの不等式をともにみたす実数の組$(x,\ y)$は存在しないことを示せ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2-2(1+a)x+y^2-4(2-a)y+a^2-2a+8 \leqq 0 \\
x^2-6(2+a)x+y^2-2(3-a)y+9a^2+38a+29 \leqq 0
\end{array} \right. \]
国立 愛媛大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\theta$が方程式$\displaystyle \cos 2 \theta-2 \sin \theta=\frac{1}{2}$を満たすとき，$\sin \theta$の値を求めよ．
(2)不等式$\log_{\frac{1}{2}}(2-x)<\log_{\frac{1}{4}}(2-x)$を解け．
(3)$x$の多項式$x^4-px+q$が$(x-1)^2$で割り切れるとき，定数$p,\ q$の値を求めよ．
(4)空間内に$5$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$があり，次の等式を満たしている．
\[ \overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{EB}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}=\overrightarrow{\mathrm{0}},\quad \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} \]
$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を用いて表せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルである．
(1)$\theta$が方程式$\displaystyle \cos 2 \theta-2 \sin \theta=\frac{1}{2}$を満たすとき，$\sin \theta$の値を求めよ．
(2)不等式$\log_{\frac{1}{2}}(2-x)<\log_{\frac{1}{4}}(2-x)$を解け．
(3)$x$の多項式$x^4-px+q$が$(x-1)^2$で割り切れるとき，定数$p,\ q$の値を求めよ．
(4)空間内に$5$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$があり，次の等式を満たしている．
\[ \overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{EB}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}=\overrightarrow{\mathrm{0}},\quad \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} \]
$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を用いて表せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルである．
国立 九州工業大学 2013年 第3問関数$f(x)=\log x$がある．曲線$y=f(x)$の点$(t,\ \log t)$における接線の方程式を$y=g(x)$とするとき，次に答えよ．ただし，対数は自然対数を表し，$e$は自然対数の底とする．
(1)$x>0$のとき，不等式$f(x)-g(x) \leqq 0$を証明せよ．
(2)$\displaystyle t>\frac{1}{2}$のとき，$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}f(x) \, dx$と$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}g(x) \, dx$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(3)自然数$n$に対して，$n!$と$\displaystyle \sqrt{2} \left( n+\frac{1}{2} \right)^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}$の大小を比較せよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$f(x)-g(x) \leqq 0$を証明せよ．
(2)$\displaystyle t>\frac{1}{2}$のとき，$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}f(x) \, dx$と$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}g(x) \, dx$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(3)自然数$n$に対して，$n!$と$\displaystyle \sqrt{2} \left( n+\frac{1}{2} \right)^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}$の大小を比較せよ．
国立 茨城大学 2013年 第2問以下の各問に答えよ．
(1)不等式$x+|y-1| \leqq 1$の表す領域を図示せよ．
(2)$a$を実数とする．このとき，
\[ A \left( \begin{array}{c}
1 \\
2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
3 \\
1 \\
2
\end{array} \right) \quad \text{かつ} \quad A \left( \begin{array}{c}
2 \\
a
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
2 \\
1 \\
3
\end{array} \right) \]
を満たす行列$A$が存在するかどうかを調べよ．存在するときは$A$を求め，存在しないときは「存在しない」と答えよ．
(1)不等式$x+|y-1| \leqq 1$の表す領域を図示せよ．
(2)$a$を実数とする．このとき，
\[ A \left( \begin{array}{c}
1 \\
2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
3 \\
1 \\
2
\end{array} \right) \quad \text{かつ} \quad A \left( \begin{array}{c}
2 \\
a
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
2 \\
1 \\
3
\end{array} \right) \]
を満たす行列$A$が存在するかどうかを調べよ．存在するときは$A$を求め，存在しないときは「存在しない」と答えよ．
国立 東京学芸大学 2013年 第3問下の問いに答えよ．
(1)方程式$x \cos x=\sin x$は$\displaystyle \frac{4\pi}{3}<x<2\pi$の範囲にただ$1$つの解をもつことを示せ．
(2)(1)の解を$\alpha$とおくとき，$0<x<2\pi$において不等式
\[ \frac{\sin x}{x} \geqq -\frac{1}{\sqrt{1+\alpha^2}}>-\frac{3}{4\pi} \]
が成り立つことを示せ．
(1)方程式$x \cos x=\sin x$は$\displaystyle \frac{4\pi}{3}<x<2\pi$の範囲にただ$1$つの解をもつことを示せ．
(2)(1)の解を$\alpha$とおくとき，$0<x<2\pi$において不等式
\[ \frac{\sin x}{x} \geqq -\frac{1}{\sqrt{1+\alpha^2}}>-\frac{3}{4\pi} \]
が成り立つことを示せ．