「不等式」について
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国立 岡山大学 2013年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)整数$x,\ y$が$25x-31y=1$を満たすとき，$x-5$は$31$の倍数であることを示せ．
(2)$1 \leqq y \leqq 100$とする．このとき，不等式
\[ 0 \leqq 25x-31y \leqq 1 \]
を満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
(1)整数$x,\ y$が$25x-31y=1$を満たすとき，$x-5$は$31$の倍数であることを示せ．
(2)$1 \leqq y \leqq 100$とする．このとき，不等式
\[ 0 \leqq 25x-31y \leqq 1 \]
を満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
国立 岡山大学 2013年 第4問$C$を$xy$平面上の放物線$y=x^2$とする．不等式$y<x^2$で表される領域の点$\mathrm{P}$から$C$に引いた$2$つの接線に対して，それぞれの接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．また，$2$つの接線と$C$で囲まれた部分の面積を$S$とする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，等式
\[ \int_p^q (x-p)^2 \, dx=\frac{(q-p)^3}{3} \]
を用いてもよい．
(1)点$\mathrm{P}$の座標$(a,\ b)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle S=\frac{(\beta-\alpha)^3}{12}$を示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が曲線$y=x^3-1 \ (-1 \leqq x \leqq 1)$上を動くとき，$(\beta-\alpha)^2$の値の範囲を調べよ．さらに，$S$の最大値および最小値を与える点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
\[ \int_p^q (x-p)^2 \, dx=\frac{(q-p)^3}{3} \]
を用いてもよい．
(1)点$\mathrm{P}$の座標$(a,\ b)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle S=\frac{(\beta-\alpha)^3}{12}$を示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が曲線$y=x^3-1 \ (-1 \leqq x \leqq 1)$上を動くとき，$(\beta-\alpha)^2$の値の範囲を調べよ．さらに，$S$の最大値および最小値を与える点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
国立 新潟大学 2013年 第4問平面上の2つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$はそれぞれの大きさが1であり，また平行でないとする．次の問いに答えよ．
(1)$t \geqq 0$であるような実数$t$に対して，不等式
\[ 0<|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|^2 \leqq (1+t)^2 \]
が成立することを示せ．
(2)$t \geqq 0$であるような実数$t$に対して$\displaystyle \overrightarrow{p}=\frac{2t^2 \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|^2}$とおき，$f(t)=|\overrightarrow{p}|$とする．このとき，不等式
\[ f(t) \geqq \frac{2t^2}{(1+t)^2} \]
が成立することを示せ．
(3)$f(t)=1$となる正の実数$t$が存在することを示せ．
(1)$t \geqq 0$であるような実数$t$に対して，不等式
\[ 0<|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|^2 \leqq (1+t)^2 \]
が成立することを示せ．
(2)$t \geqq 0$であるような実数$t$に対して$\displaystyle \overrightarrow{p}=\frac{2t^2 \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|^2}$とおき，$f(t)=|\overrightarrow{p}|$とする．このとき，不等式
\[ f(t) \geqq \frac{2t^2}{(1+t)^2} \]
が成立することを示せ．
(3)$f(t)=1$となる正の実数$t$が存在することを示せ．
国立 新潟大学 2013年 第3問正の整数$n$に対して$a_n=\sqrt{1+n^2}-n$とおく．次の問いに答えよ．
(1)不等式$\displaystyle \frac{1}{2n+1}<a_n<\frac{1}{2n}$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$a_n>a_{n+1}$が成り立つことを示せ．
(3)$a_n<0.03$となる最小の正の整数$n$を求めよ．
(1)不等式$\displaystyle \frac{1}{2n+1}<a_n<\frac{1}{2n}$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$a_n>a_{n+1}$が成り立つことを示せ．
(3)$a_n<0.03$となる最小の正の整数$n$を求めよ．
国立 信州大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)不等式$\log_3(x-2)+2 \log_9(x-4)<1$を解け．
(2)$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の座標軸上に，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ \sqrt{6},\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$がある．線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{BA}$を$t:1-t$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．この$4$点により定まる長方形$\mathrm{PQRS}$の面積$M(t)$が最大となるとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$のなす角$\theta \ (0<\theta<\pi)$を求めよ．
(3)$3$個のサイコロを同時に投げるとき，出る目の積が$10$の倍数である確率を求めよ．
(1)不等式$\log_3(x-2)+2 \log_9(x-4)<1$を解け．
(2)$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の座標軸上に，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ \sqrt{6},\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$がある．線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{BA}$を$t:1-t$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．この$4$点により定まる長方形$\mathrm{PQRS}$の面積$M(t)$が最大となるとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$のなす角$\theta \ (0<\theta<\pi)$を求めよ．
(3)$3$個のサイコロを同時に投げるとき，出る目の積が$10$の倍数である確率を求めよ．
国立 東京大学 2013年 第5問次の命題$\mathrm{P}$を証明したい．
命題$\mathrm{P}$ \quad 次の$2$条件(a)，(b)をともに満たす自然数（$1$以上の整数）$A$が存在する．
(a) $A$は連続する$3$つの自然数の積である．
(b) $A$を$10$進法で表したとき，$1$が連続して$99$回以上現れるところがある．
以下の問いに答えよ．
(1)$y$を自然数とする．このとき不等式
\[ x^3+3yx^2<(x+y-1)(x+y)(x+y+1)<x^3+(3y+1)x^2 \]
が成り立つような正の実数$x$の範囲を求めよ．
(2)命題$\mathrm{P}$を証明せよ．
命題$\mathrm{P}$ \quad 次の$2$条件(a)，(b)をともに満たす自然数（$1$以上の整数）$A$が存在する．
(a) $A$は連続する$3$つの自然数の積である．
(b) $A$を$10$進法で表したとき，$1$が連続して$99$回以上現れるところがある．
以下の問いに答えよ．
(1)$y$を自然数とする．このとき不等式
\[ x^3+3yx^2<(x+y-1)(x+y)(x+y+1)<x^3+(3y+1)x^2 \]
が成り立つような正の実数$x$の範囲を求めよ．
(2)命題$\mathrm{P}$を証明せよ．
国立 九州大学 2013年 第4問座標平面上の円$(x-1)^2+(y-1)^2=2$を$C$とする．以下の問いに答えよ．
(1)直線$y=x-2$は円$C$に接することを示せ．また，接点の座標も求めよ．
(2)円$C$と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2-1$の共有点の座標をすべて求めよ．
(3)不等式$\displaystyle y \geqq \frac{1}{4}x^2-1$の表す領域を$D$とする．また，不等式$|x|+|y| \leqq 2$の表す領域を$A$とし，不等式$(|x|-1)^2+(y-1)^2 \leqq 2$の表す領域を$B$とする．そして，和集合$A \cup B$，すなわち領域$A$と領域$B$を合わせた領域を$E$とする．このとき，領域$D$と領域$E$の共通部分$D \cap E$を図示し，さらに，その面積を求めよ．
(1)直線$y=x-2$は円$C$に接することを示せ．また，接点の座標も求めよ．
(2)円$C$と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2-1$の共有点の座標をすべて求めよ．
(3)不等式$\displaystyle y \geqq \frac{1}{4}x^2-1$の表す領域を$D$とする．また，不等式$|x|+|y| \leqq 2$の表す領域を$A$とし，不等式$(|x|-1)^2+(y-1)^2 \leqq 2$の表す領域を$B$とする．そして，和集合$A \cup B$，すなわち領域$A$と領域$B$を合わせた領域を$E$とする．このとき，領域$D$と領域$E$の共通部分$D \cap E$を図示し，さらに，その面積を求めよ．
国立 静岡大学 2013年 第1問不等式$(x+y)(x-y+4) \geqq 0$の表す領域を$A$とし，不等式$y \geqq x^2+4x$の表す領域を$B$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)領域$A$を図示せよ．
(2)領域$A \cap B$の面積を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$A \cap B$を動くとき，$4x-y$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$と$y$の値もそれぞれ求めよ．
(1)領域$A$を図示せよ．
(2)領域$A \cap B$の面積を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$A \cap B$を動くとき，$4x-y$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$と$y$の値もそれぞれ求めよ．
国立 静岡大学 2013年 第1問不等式$(x+y)(x-y+4) \geqq 0$の表す領域を$A$とし，不等式$y \geqq x^2+4x$の表す領域を$B$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)領域$A$を図示せよ．
(2)領域$A \cap B$の面積を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$A \cap B$を動くとき，$4x-y$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$と$y$の値もそれぞれ求めよ．
(1)領域$A$を図示せよ．
(2)領域$A \cap B$の面積を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$A \cap B$を動くとき，$4x-y$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$と$y$の値もそれぞれ求めよ．
国立 弘前大学 2013年 第1問$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，次の不等式を解け．
\[ \sin 2x+\sqrt{3}\sin x-\sqrt{3}\cos x>\frac{3}{2} \]
\[ \sin 2x+\sqrt{3}\sin x-\sqrt{3}\cos x>\frac{3}{2} \]