以下の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_0^\pi \cos mx \cos nx \, dx$を求めよ．ただし，$m,\ n$は自然数とする．
(2)$a$と$b$を$a<b$を満たす実数とし，$f(x)$と$g(x)$を区間$[a,\ b]$で定義された連続な関数とする．また，
\[ \int_a^b \{f(x)\}^2 \, dx \neq 0,\quad \int_a^b \{g(x)\}^2 \, dx \neq 0 \]
であるとする．このとき，任意の実数$t$に対して
\[ \int_a^b \{tf(x)+g(x)\}^2 \, dx \geqq 0 \]
が成り立つことを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \left\{ \int_a^b f(x)g(x) \, dx \right\}^2 \leqq \left( \int_a^b \{f(x)\}^2 \, dx \right) \left( \int_a^b \{g(x)\}^2 \, dx \right) \]
また，等号が成り立つ条件は，$k$を定数として$g(x)=kf(x)$と表せるときであることを示せ．
(3)$f(x)$は区間$[-\pi,\ \pi]$で定義された連続な関数で$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi \{f(x)\}^2 \, dx=1$を満たす．このとき，
\[ I=\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos 2x \, dx \]
を最大とする$f(x)$とそのときの$I$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{2x}{x^2+4}$について，以下の設問に答えよ．

(1)不等式$\displaystyle f(x)>-\frac{1}{2}$を解け．
(2)関数$f(x)$の導関数を求めよ．
(3)関数$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
(4)$a>0$とする．$x \geqq 0$において，曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．$S(a) \geqq 2$となる$a$の値の範囲を求めよ．

ある開区間$D$で与えられた関数$f(x)$は，$2$階微分可能で，第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$は連続で，更に$f^{\prime\prime}(x)<0$と仮定する．以下の問いに答えよ．

(1)$a_1<a_2<a_3$を満たす$D$の$a_1,\ a_2,\ a_3$に対して
\[ \frac{f(a_2)-f(a_1)}{a_2-a_1}>\frac{f(a_3)-f(a_2)}{a_3-a_2} \]
を示せ．
(2)$x_1,\ x_2$を$D$の実数とする．$0 \leqq \alpha \leqq 1$を満たす$\alpha$に対して
\[ f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2) \geqq \alpha f(x_1)+(1-\alpha) f(x_2) \]
を示せ．
(3)$x_1,\ x_2,\ x_3$を$D$の実数とする．$\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3 \geqq 0$及び$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=1$を満たす$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$に対して
\[ f(\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\alpha_3 x_3) \geqq \alpha_1 f(x_1)+\alpha_2 f(x_2)+\alpha_3 f(x_3) \]
を示せ．
(4)$D=(0,\ \infty)$とする．上の議論を用いて，$D$の$x_1,\ x_2,\ x_3$に対して不等式
\[ \frac{x_1+x_2+x_3}{3} \geqq \sqrt[3]{x_1x_2x_3} \]
を示せ．

以下の問いの空欄$[タ]$～$[ノ]$に適する数値，式を記せ．

(1)$i$を虚数単位として，等式$(2+i)(x-3yi)=1-i$を満たす実数$x$および$y$の値を求めると$x=[タ]$，$y=[チ]$となる．
(2)平面上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ -1)$と直線$x-2y-2=0$がある．この直線上に点$\mathrm{P}$をとるとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$を最小にする点$\mathrm{P}$の座標は$([ツ],\ [テ])$となる．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$の条件で，関数$y=\cos 2\theta-4 \sin \theta$の最大値と最小値を求めると，$\theta=[ト]$のときに最大値$[ナ]$をとり，$\theta=[ニ]$のときに最小値$[ヌ]$をとる．
(4)不等式$9^x \leqq 6+3^x$の解は$[ネ]$である．
(5)$3$つの数$x-3,\ x+1,\ x+6$がこの順で等比数列となるとき，$x$の値を求めると$x=[ノ]$となる．

$\displaystyle S_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}- \cdots +\frac{(-1)^{n-1}}{n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する．以下の問いに答えよ．

(1)$x \neq -1$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x+1}=\sum_{k=0}^{n-1} (-x)^k+\frac{(-x)^n}{x+1}$が成立することを証明せよ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$のとき，不等式$\displaystyle -\frac{1}{n+1} \leqq \int_0^1 \frac{(-x)^n}{x+1} \, dx \leqq \frac{1}{n+1}$が成立することを証明せよ．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^{n-1} \int_0^1 (-x)^k \, dx$が成立することを証明せよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とし，$S_n$が次の式で与えられるとする．
\[ S_n=a_n+2n^2-n-1 \]
また，数列$\{b_n\}$は次の条件によって与えられるとする．
\[ b_1=-2,\quad b_{n+1}=2b_n+a_n \]
以下の問題に答えよ．

(1)$n$が$2$以上の自然数のとき，$S_{n-1}$を$n$の式で表せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$n$が$2$以上の自然数のとき，不等式$b_n>0$を証明せよ．
(5)数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$T_n$とする．$T_n$を$n$の式で表せ．

次の問いに答えなさい．

(1)不等式$|3x-1|+|x-2| \geqq 11$を解きなさい．
(2)$x>0$のとき，次の式の最小値，および最小値を与える$x$の値を求めなさい．
\[ 3x+1+\frac{4}{3x+1} \]
(3)$x,\ y$を正の実数とする．このとき次の不等式が成り立つことを証明しなさい．
\[ (x+y+1) \left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1 \right) \geqq 9 \]

$x>0$とし，$f(x)=\log x^{100}$とおく．

(1)次の不等式を証明せよ．
\[ \frac{100}{x+1}<f(x+1)-f(x)<\frac{100}{x} \]
(2)実数$a$の整数部分（$k \leqq a<k+1$となる整数$k$）を$[a]$で表す．整数$[f(1)]$，$[f(2)]$，$[f(3)]$，$\cdots$，$[f(1000)]$のうちで異なるものの個数を求めよ．必要ならば$\log 10=2.3026$として計算せよ．

不等式
\[ 1 \leqq \biggl| |x|-2 \biggr|+\biggl| |y|-2 \biggr| \leqq 3 \]
の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．

関数$f(x)=xe^{-x}$について，実数$a,\ b$は次の条件を満たすものとする．

$(\mathrm{A})$ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=f(a) \quad (0<a<1),$
$(\mathrm{B})$ $f(1)-f(0)=f^\prime(b) \quad (0<b<1)$

また，点$(0,\ 0)$，$(a,\ e^a)$を通る直線を$\ell_1$とし，点$(1,\ 0)$，$(b,\ e^b)$を通る直線を$\ell_2$とする．

(1)$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$を利用して，$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を$a,\ b$を用いずに表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$の交点を求めよ．さらに，曲線$y=e^x$上の点$(1,\ e)$における接線と直線$\ell_2$の交点を求めよ．
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ a<\frac{e-2}{e-1}<b<\frac{1}{2} \]
ただし，必要ならば$e=2.718 \cdots,\ \log(e-1)=0.541 \cdots$を用いてよい．