$a$を実数とし，関数$f(x)$を$f(x)=2x^3-3(a+2)x^2+12ax$で定める．

(1)$f(x)$が極値をもつとき，その値は$[タ]$である．
(2)$y=f(x)$のグラフが$a$の値に関係なく通る点で，原点$\mathrm{O}$でないものを$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標は$[チ]$である．
(3)点$\mathrm{A}$を$(2)$で定めた点とする．線分$\mathrm{OA}$と$y=f(x)$のグラフが$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$以外に共有点をもつ$a$の値の範囲は$[ツ]<a<[テ]$である．
(4)$x \geqq 0$を満たすすべての実数$x$について，不等式$f(x) \geqq 0$が成り立つ$a$の値の範囲は$[ト] \leqq a \leqq [ナ]$である．
(5)$a \geqq 3.5$を満たすすべての実数$a$について，方程式$f(x)=k$が$3$つの異なる実数解をもつ実数$k$の値の範囲は$[ニ]<k<[ヌ]$である．

次の問に答えよ．

(1)不等式$x^2+y^2-6x-4y \leqq -9$を満たす点$(x,\ y)$全体の集合を$xy$平面上に図示せよ．
(2)関数$y=e^x-e^{-x}$のグラフに接する，傾きが$4$である接線の方程式を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{e^{-1}}^e |\log x| \, dx$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数である．

次の問に答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 7)$とのなす角が${60}^\circ$である長さ$\sqrt{2}$のベクトルをすべて求めよ．
(2)不等式$|x-2|>2x-1$を解け．
(3)$y=x^2$のグラフの$x=k$における接線が$y=-x^2+4x-3$のグラフに接している．このとき，$k$の値を求めよ．

$n$を自然数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)任意の$n$に対し，不等式$n! \geqq 2^{n-1}$が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ．
(2)$n \geqq 4$のとき，不等式
\[ 1.7<\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}<2 \]
が成り立つことを示せ．

次の$2$つの不等式をともに満たす領域を図示せよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
|x+y|<8 \\
|2x-3y|>6 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]

以下の各問いに答えなさい．

(1)次の$[　]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$x+y=1$のとき$x^2+y^2$の最小値を求めなさい．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(5)円$x^2+y^2=2$と直線$y=x-1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さを求めなさい．
(6)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．

以下の各問いに答えなさい．

(1)次の$[　]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(4)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．
(5)$y=xe^{-x}$を微分しなさい．

(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$を求めなさい．

次の不等式を解きなさい．
\[ |\abs{x|-|x+1|}<\frac{1}{2} \]

不等式
\[ n^2+n+1 \leqq 3 |n+1| \]
を満たす整数$n$をすべて求めよ．

すべての自然数$n$に対して，不等式
\[ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{2n-1}}>\sqrt{2n+1}-1 \]
が成り立つことを示せ．