次の各問いに答えよ．

(1)不等式$|3x-5|<x+4$を満たす整数解を求めよ．
(2)式$(\cos {15}^\circ+\sin {15}^\circ)^2+(\cos {15}^\circ-\sin {15}^\circ)^2$の値を求めよ．
(3)$2 \leqq x \leqq 3$，$3 \leqq y \leqq 4$のとき，$1+xy-x-y$の最大値と最小値を求めよ．

$2$次不等式$ax^2+bx+c>0$の解が$-4<x<3$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$b,\ c$を$a$を用いて表せ．
(2)$2$次不等式$ax^2+2bx+2c<0$を解け．

以下の問いに答えよ．

(1)不等式$y<x<x^2$の表す領域を図示せよ．
(2)不等式$x+y<x^2<x^4-2$の表す領域を図示せよ．

不等式$(\log_2 x)^2-\log_4 x^8+3 \leqq 0$を解け．

次の問に答えよ．

(1)不等式$\displaystyle \frac{1}{{125}^{x^2}}>5^{20-17x}$を満たす$x$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[$32$]}{[$33$]}<x<[$34$]$である．また，$x$がこの値の範囲内で方程式$\displaystyle \frac{x^{16}}{256}=x^{8 \log_2 x}$を満たすとき，$x$の値は$x=[$35$]$となる．
(2)$k$を定数として，$x$の方程式$2^{3x}-2^{2(x+1)}+2^{x+2}+2^x-3=k$の解が$1$つの実数解のみであるとき，$k$がとりえる値の範囲は
\[ -[$36$]<k<-\frac{[$37$][$38$]}{[$39$][$40$]},\quad -[$41$]<k \]
である．

次の問いに答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)不等式
\[ 1+\frac{1}{\log_2 x}-\frac{3}{\log_3 x}<0 \]
を解くと，
\[ [タ]<x<\frac{[チツ]}{[テ]} \]
である．
(2)関数$f(x)=8^x+8^{-x}-5(4^x+4^{-x})+6(2^x+2^{-x})$がある．ただし，$x$は全ての実数を動く．

(i) $2^x+2^{-x}=t$とおくとき，$t$の取り得る値の範囲は$t \geqq [$*$ ト]$である．
(ii) $4^x+4^{-x}$，$8^x+8^{-x}$を$t$の式で表すと
\[ 4^x+4^{-x}=t^2+[$* ナ$],\quad 8^x+8^{-x}=t^3+[$* ニ$]t \]
である．
(iii) $f(x)$を$t$の式で表すと，$f(x)=t^3+[$*$ ス]t^2+[$*$ ネ]t+[$*$ ノハ]$である．
\mon[$\tokeishi$] $f(x)$の最小値は$[$*$ ヒ]$である．

実数$t$に対して$\displaystyle f(t)=\frac{t+|t|}{2}$とおく．このとき座標平面において不等式
\[ \frac{1}{4}x^2-1 \leqq y \leqq f(2-x^2) \]
が表す領域を図示し，その面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の不等式の空欄$[$25$]$～$[$28$]$にあてはまるものを下の解答群から選べ．
\[ [$25$]<[$26$]<\sqrt[3]{7}<[$27$]<[$28$] \]
解答群 \quad $\nagamaruichi \ \tan {50}^\circ \qquad \nagamaruni \ \sqrt{5} \qquad \nagamarusan \ \sqrt[4]{14} \qquad \nagamarushi \ \sin {100}^\circ$
(2)次の空欄$[$29$]$～$[$38$]$にあてはまる数字を入れよ．ただし，空欄$[$29$]$，$[$32$]$には$+$，$-$，$\pm$いずれかの記号が入る．

(i) 方程式$\log_2 (x+7)+\log_2 (3x+2)=\log_2 6$の解は
\[ x=\frac{\kakkofour{$29$}{$30$}{$31$}{$32$} \sqrt{[$33$][$34$][$35$]}}{[$36$]} \]
である．
(ii) $\log_2 3 \cdot \log_4 8 \cdot \log_9 16=[$37$][$38$]$である．

次の空欄$[ア]$，$[イ]$に「真」または「偽」のいずれかを記入せよ．また空欄$[ウ]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)実数$a,\ b$について，命題「$ab=0$ならば$b=0$である」の逆は$[ア]$であり，裏は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$のとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ]$，$\displaystyle x^4+\frac{1}{x^4}=[エ]$と，いずれも整数で表せる．
(3)すべての実数$x$について$2$次不等式$x^2-2(k+1)x+2k^2>0$が成立するような実数$k$の範囲は$[オ]$である．
(4)$1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれたカードをそれぞれ$2$枚用意する．この$8$枚のカードから$6$枚を同時に引き，その中で最大の数を$X$とするとき，$X$の期待値は$[カ]$である．
(5)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\sqrt{3} \cos \theta+\sin \theta$の最大値は$[キ]$であり，最小値は$[ク]$である．
(6)方程式$\log_{\frac{1}{2}}x^2+\log_2 x^{\frac{9}{2}}+\log_4 x^{-1}=4$を満たす$x$の値は$[ケ]$である．
(7)等差数列をなす$3$つの数がある．これらの和が$1$で，平方の和が$\displaystyle \frac{11}{24}$であるとき，$3$つの数は$[コ]$である．
(8)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ x)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ -1)$について，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$が垂直であるときの$x$の値をすべて求めると，$[サ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$a$を実数とするとき，不等式$x^2-2ax+2a^2+a-1>0$がすべての実数$x$に対して成り立つような$a$の値の範囲を求めると$[ア]$である．
(2)$n$を整数とするとき，$\displaystyle \frac{3n-2}{5}$より大きな整数のうち最小のものが$6$となるような$n$の値をすべて求めると$n=[イ]$である．
(3)複素数$\displaystyle z=\frac{2-i}{1+i}$について，$z^2-z$を計算すると$z^2-z=[ウ]$である．さらに，$z^4-2z^3+3z^2-3z$を計算すると$z^4-2z^3+3z^2-3z=[エ]$である．
(4)$a>0$とし，$x>0$において$\displaystyle y=\left( \log_{10}ax^2 \right) \left( \log_{10} \frac{a}{x} \right)$を考える．$t=\log_{10} x$，$b=\log_{10}a$として$y$を$t$と$b$で表すと$y=[オ]$である．また，$x$の方程式$\displaystyle \left( \log_{10}ax^2 \right) \left( \log_{10} \frac{a}{x} \right)=1$が異なる$2$つの解$\alpha,\ \beta$をもつとき，$\alpha\beta$を$a$で表すと$\alpha\beta=[カ]$である．
(5)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,\ 6)$，$\mathrm{B}(1,\ 3)$，$\mathrm{C}(4,\ 2)$を考える．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る円の半径$r$を求めると$r=[キ]$である．また，点$\mathrm{A}$を通る直線が，この円と$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{P}$で交わり，$\mathrm{AP}=\sqrt{2}r$となるとき，この直線の傾き$k$を求めると$k=[ク]$である．