「不等式」について
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私立 北海道薬科大学 2014年 第1問次の各設問に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{1715}{414}=[ア]+\frac{1}{[イ]+\displaystyle\frac{1}{[ウエ]}}$と表すことができる．
(2)$y=x^2+2x+5$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動して得られる$2$次関数のグラフが点$(0,\ 16)$を通り，最小値が$7$となるとき，正の実数$p,\ q$の値は$p=[オ]$，$q=[カ]$である．
(3)不等式$\displaystyle -1<\log_4 x-\log_2 x<\frac{3}{2}$を満たす$x$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}<x<[ケ]$である．
(4)$10$本のくじがあって，そのうち$3$本が当たりくじであるとする．引いたくじを元にもどさないでくじを引くとき，$7$本目までに当たりくじを引く確率は$\displaystyle \frac{[コサシ]}{[スセソ]}$である．
(1)$\displaystyle \frac{1715}{414}=[ア]+\frac{1}{[イ]+\displaystyle\frac{1}{[ウエ]}}$と表すことができる．
(2)$y=x^2+2x+5$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動して得られる$2$次関数のグラフが点$(0,\ 16)$を通り，最小値が$7$となるとき，正の実数$p,\ q$の値は$p=[オ]$，$q=[カ]$である．
(3)不等式$\displaystyle -1<\log_4 x-\log_2 x<\frac{3}{2}$を満たす$x$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}<x<[ケ]$である．
(4)$10$本のくじがあって，そのうち$3$本が当たりくじであるとする．引いたくじを元にもどさないでくじを引くとき，$7$本目までに当たりくじを引く確率は$\displaystyle \frac{[コサシ]}{[スセソ]}$である．
私立 神戸薬科大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$4$次式$x^2+(x^2-1)^2$を複素数の範囲で因数分解すると$[ア]$である．
(2)不等式$x+2 \leqq |x^2-x-6|$を$x$について解くと$[イ]$である．
(3)関数$F(x)$が$F^\prime(x)=(3x+2)^2$，$F(0)=3$を満たすとき$F(x)=[ウ]$である．
(4)$2$次方程式$x^2-4x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$a_n=\alpha^n-\beta^n$（$n$は自然数）とおく．このとき，$\displaystyle \frac{a_{10}-2a_8}{a_9}$の値を求めると$[エ]$である．
(1)$4$次式$x^2+(x^2-1)^2$を複素数の範囲で因数分解すると$[ア]$である．
(2)不等式$x+2 \leqq |x^2-x-6|$を$x$について解くと$[イ]$である．
(3)関数$F(x)$が$F^\prime(x)=(3x+2)^2$，$F(0)=3$を満たすとき$F(x)=[ウ]$である．
(4)$2$次方程式$x^2-4x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$a_n=\alpha^n-\beta^n$（$n$は自然数）とおく．このとき，$\displaystyle \frac{a_{10}-2a_8}{a_9}$の値を求めると$[エ]$である．
私立 千葉工業大学 2014年 第2問次の各問に答えよ．
(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$F=2 \sin \theta (\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta)$は
\[ \begin{array}{rcl}
F &=& [ア]-\sqrt{3} \sin 2\theta-\cos 2\theta \\
&=& [ア]-[イ] \sin \left( 2\theta+\frac{[ウ]}{[エ]} \pi \right)
\end{array} \]
と変形できる．ここで，$\displaystyle 0 \leqq \frac{[ウ]}{[エ]} \pi <2\pi$とする．$F$は$\displaystyle \theta=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のとき，最大値$[キ]$をとる．
(2)$a$を正の定数とし，$f(x)=2x^3-ax^2+27$とする．$f(x)$の導関数は
\[ f^\prime(x)=[ク]x^2-[ケ]ax \]
であり，$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[コ]}{[サ]}a$のとき，極小値$\displaystyle 27-\frac{[シ]}{[スセ]} a^{[ソ]}$をとる．どのような正の数$x$に対しても不等式$2x^3+27>ax^2$が成り立つような$a$の値の範囲は$0<a<[タ]$である．
(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$F=2 \sin \theta (\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta)$は
\[ \begin{array}{rcl}
F &=& [ア]-\sqrt{3} \sin 2\theta-\cos 2\theta \\
&=& [ア]-[イ] \sin \left( 2\theta+\frac{[ウ]}{[エ]} \pi \right)
\end{array} \]
と変形できる．ここで，$\displaystyle 0 \leqq \frac{[ウ]}{[エ]} \pi <2\pi$とする．$F$は$\displaystyle \theta=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のとき，最大値$[キ]$をとる．
(2)$a$を正の定数とし，$f(x)=2x^3-ax^2+27$とする．$f(x)$の導関数は
\[ f^\prime(x)=[ク]x^2-[ケ]ax \]
であり，$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[コ]}{[サ]}a$のとき，極小値$\displaystyle 27-\frac{[シ]}{[スセ]} a^{[ソ]}$をとる．どのような正の数$x$に対しても不等式$2x^3+27>ax^2$が成り立つような$a$の値の範囲は$0<a<[タ]$である．
私立 神戸薬科大学 2014年 第3問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=2^x$のグラフを$y$軸で対称移動させたのち，$x$軸方向に$-2$だけ平行移動させたグラフの方程式は$[キ]$である．また，$y=2^x$のグラフを$y=x$について対称に移したグラフの方程式を$y=f(x)$の形で表すと$[ク]$である．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{7x^2-8x+6}<\left( \frac{1}{2} \right)^{-8x^2+14x-2}$を$x$について解くと$[ケ]$である．
(1)関数$y=2^x$のグラフを$y$軸で対称移動させたのち，$x$軸方向に$-2$だけ平行移動させたグラフの方程式は$[キ]$である．また，$y=2^x$のグラフを$y=x$について対称に移したグラフの方程式を$y=f(x)$の形で表すと$[ク]$である．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{7x^2-8x+6}<\left( \frac{1}{2} \right)^{-8x^2+14x-2}$を$x$について解くと$[ケ]$である．
私立 京都薬科大学 2014年 第4問実数$x$に対して，$x$を超えない最大整数を$[x]$で表すとする．例えば，$[2]=2$，$\displaystyle \left[ \frac{10}{3} \right]=3$である．次の$[ ]$のうち，$[オ]$と$[カ]$には式を，その他には整数を記入せよ．
(1)$[-5.2]=[ア]$となる．
(2)$\displaystyle \left[ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}} \right]=[イ]$，$\displaystyle \left[ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}} \right]=[ウ]$，
$\displaystyle \left[ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}} \right]=[エ]$となる．
(3)不等式
\[ \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\frac{1}{2 \sqrt{k}}<\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}} \]
の各辺を$k=2$から$k=n$まで，それぞれ加え合わせると，
\[ [オ]<\sum_{k=2}^n \frac{1}{\sqrt{k}}<[カ] \]
が得られる．ここで，$n$は$2$以上の整数とする．これにより，
\[ [キ] \times \sqrt{n}-[ク]-1<\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}<[キ] \times \sqrt{n}-[ク] \]
となる．よって，
\[ \left[ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{9999}}+\frac{1}{\sqrt{10000}} \right]=[ケ] \]
である．
(4)同様にして，
\[ \left[ \frac{1}{\sqrt{100}}+\frac{1}{\sqrt{101}}+\frac{1}{\sqrt{102}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{9999}}+\frac{1}{\sqrt{10000}} \right]=[コ] \]
となる．
(1)$[-5.2]=[ア]$となる．
(2)$\displaystyle \left[ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}} \right]=[イ]$，$\displaystyle \left[ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}} \right]=[ウ]$，
$\displaystyle \left[ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}} \right]=[エ]$となる．
(3)不等式
\[ \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\frac{1}{2 \sqrt{k}}<\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}} \]
の各辺を$k=2$から$k=n$まで，それぞれ加え合わせると，
\[ [オ]<\sum_{k=2}^n \frac{1}{\sqrt{k}}<[カ] \]
が得られる．ここで，$n$は$2$以上の整数とする．これにより，
\[ [キ] \times \sqrt{n}-[ク]-1<\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}<[キ] \times \sqrt{n}-[ク] \]
となる．よって，
\[ \left[ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{9999}}+\frac{1}{\sqrt{10000}} \right]=[ケ] \]
である．
(4)同様にして，
\[ \left[ \frac{1}{\sqrt{100}}+\frac{1}{\sqrt{101}}+\frac{1}{\sqrt{102}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{9999}}+\frac{1}{\sqrt{10000}} \right]=[コ] \]
となる．
私立 広島修道大学 2014年 第3問$a$を定数とし，$a>0$，$a \neq 1$とする．不等式
\[ \log_{\sqrt{a}} (x-a)-\log_{a^2}4>\log_a (2x+\frac{1}{2}a^2-4a) \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$0<a<1$のとき，この不等式を満たす$x$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
(2)$a \geqq 4$のとき，この不等式を満たす$x$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
(3)$1<a<4$のとき，この不等式を満たす$x$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
\[ \log_{\sqrt{a}} (x-a)-\log_{a^2}4>\log_a (2x+\frac{1}{2}a^2-4a) \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$0<a<1$のとき，この不等式を満たす$x$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
(2)$a \geqq 4$のとき，この不等式を満たす$x$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
(3)$1<a<4$のとき，この不等式を満たす$x$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
私立 大阪薬科大学 2014年 第3問次の問いに答えなさい．
辺$\mathrm{AB}$の長さが$1$の$\triangle \mathrm{OAB}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$で表す．$n$を自然数とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$の中点を$\mathrm{X}_1$，線分$\mathrm{AX}_1$の中点を$\mathrm{X}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{AX}_n$の中点を$\mathrm{X}_{n+1}$，$\cdots$とする．また，$\triangle \mathrm{OAX}_1$の重心を$\mathrm{P}_1$，$\triangle \mathrm{OAX}_2$の重心を$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\triangle \mathrm{OAX}_n$の重心を$\mathrm{P}_n$，$\cdots$とする．同様に線分$\mathrm{BM}$の中点を$\mathrm{Y}_1$，線分$\mathrm{BY}_1$の中点を$\mathrm{Y}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{BY}_n$の中点を$\mathrm{Y}_{n+1}$，$\cdots$とし，$\triangle \mathrm{OBY}_1$の重心を$\mathrm{Q}_1$，$\triangle \mathrm{OBY}_2$の重心を$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$，$\triangle \mathrm{OBY}_n$の重心を$\mathrm{Q}_n$，$\cdots$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}=[$\mathrm{I]$}$，$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}=[$\mathrm{J]$}$である．
(2)線分$\mathrm{AX}_n$の長さを$n$を用いて表すと，$\mathrm{AX}_n=[$\mathrm{K]$}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n}$は$n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いてどのように表されるかを求めなさい．
(4)線分$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$の長さに関する不等式
\[ 0.666666<\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \]
を満たす最小の自然数$n$は$[$\mathrm{L]$}$である．ただし，$\log_{2}10=3.3219$とする．
辺$\mathrm{AB}$の長さが$1$の$\triangle \mathrm{OAB}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$で表す．$n$を自然数とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$の中点を$\mathrm{X}_1$，線分$\mathrm{AX}_1$の中点を$\mathrm{X}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{AX}_n$の中点を$\mathrm{X}_{n+1}$，$\cdots$とする．また，$\triangle \mathrm{OAX}_1$の重心を$\mathrm{P}_1$，$\triangle \mathrm{OAX}_2$の重心を$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\triangle \mathrm{OAX}_n$の重心を$\mathrm{P}_n$，$\cdots$とする．同様に線分$\mathrm{BM}$の中点を$\mathrm{Y}_1$，線分$\mathrm{BY}_1$の中点を$\mathrm{Y}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{BY}_n$の中点を$\mathrm{Y}_{n+1}$，$\cdots$とし，$\triangle \mathrm{OBY}_1$の重心を$\mathrm{Q}_1$，$\triangle \mathrm{OBY}_2$の重心を$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$，$\triangle \mathrm{OBY}_n$の重心を$\mathrm{Q}_n$，$\cdots$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}=[$\mathrm{I]$}$，$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}=[$\mathrm{J]$}$である．
(2)線分$\mathrm{AX}_n$の長さを$n$を用いて表すと，$\mathrm{AX}_n=[$\mathrm{K]$}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n}$は$n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いてどのように表されるかを求めなさい．
(4)線分$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$の長さに関する不等式
\[ 0.666666<\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \]
を満たす最小の自然数$n$は$[$\mathrm{L]$}$である．ただし，$\log_{2}10=3.3219$とする．
私立 広島修道大学 2014年 第1問空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．
(1)$(3x+2)(2x^2-5x+3)$を展開すると，$[$1$]$となる．
(2)男子$5$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，女子$3$人が続いて並ぶ方法は$[$2$]$通り，一端に男子，もう一端に女子が並ぶ方法は$[$3$]$通りある．
(3)$\displaystyle \frac{1+2i}{1-3i}+\frac{1-4i}{1+3i}=a+bi$（$a,\ b$は実数）と表すとき，$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．
(4)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$5$個の数字を用いて$3$桁の整数をつくるとき，奇数は全部で$[$6$]$個できる．ただし，同じ数字を繰り返し用いてもよい．
(5)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=-2 \sin^2 \theta+8 \cos \theta+3$は，$\theta=[$7$]$のとき，最小値$[$8$]$をとる．
(6)不等式$\displaystyle \frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81 \leqq 0$の解は$[$9$]$である．また，$-2 \leqq x \leqq 0$において関数$\displaystyle y=\frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81$は，$x=[$10$]$のとき，最小値$[$11$]$をとる．
(1)$(3x+2)(2x^2-5x+3)$を展開すると，$[$1$]$となる．
(2)男子$5$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，女子$3$人が続いて並ぶ方法は$[$2$]$通り，一端に男子，もう一端に女子が並ぶ方法は$[$3$]$通りある．
(3)$\displaystyle \frac{1+2i}{1-3i}+\frac{1-4i}{1+3i}=a+bi$（$a,\ b$は実数）と表すとき，$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．
(4)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$5$個の数字を用いて$3$桁の整数をつくるとき，奇数は全部で$[$6$]$個できる．ただし，同じ数字を繰り返し用いてもよい．
(5)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=-2 \sin^2 \theta+8 \cos \theta+3$は，$\theta=[$7$]$のとき，最小値$[$8$]$をとる．
(6)不等式$\displaystyle \frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81 \leqq 0$の解は$[$9$]$である．また，$-2 \leqq x \leqq 0$において関数$\displaystyle y=\frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81$は，$x=[$10$]$のとき，最小値$[$11$]$をとる．
私立 広島修道大学 2014年 第1問空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．
(1)方程式$x^2+4x-5=0$の解は$[$1$]$である．また，不等式$x^2+4x-5>0$の解は$[$2$]$である．
(2)整式$f(x)$を$(x-3)(x+2)$で割った余りは$4x-3$である．このとき，$f(x)$を$x+2$で割った余りは$[$3$]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=2 \cos^2 \theta+2 \sqrt{2} \sin \theta$の最大値は$[$4$]$，最小値は$[$5$]$である．
(4)$3$点$\mathrm{A}(5,\ -1)$，$\mathrm{B}(2,\ 2)$，$\mathrm{C}$を頂点とする三角形の重心の座標が$\displaystyle \left( \frac{7}{3},\ -\frac{5}{3} \right)$であるとき，点$\mathrm{C}$の座標は$[$6$]$である．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に平行な直線の方程式は$[$7$]$であり，$\cos B$の値は$[$8$]$である．
(5)白の碁石が$5$個，黒の碁石が$5$個，合わせて$10$個の碁石から$8$個の碁石を選んで一列に並べるとき，並べ方は$[$9$]$通りある．このうち，同じ色の碁石が連続して$5$個並ぶ並べ方は$[$10$]$通りあり，また白の碁石が連続して$4$個以上並ぶ並べ方は$[$11$]$通りある．
(1)方程式$x^2+4x-5=0$の解は$[$1$]$である．また，不等式$x^2+4x-5>0$の解は$[$2$]$である．
(2)整式$f(x)$を$(x-3)(x+2)$で割った余りは$4x-3$である．このとき，$f(x)$を$x+2$で割った余りは$[$3$]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=2 \cos^2 \theta+2 \sqrt{2} \sin \theta$の最大値は$[$4$]$，最小値は$[$5$]$である．
(4)$3$点$\mathrm{A}(5,\ -1)$，$\mathrm{B}(2,\ 2)$，$\mathrm{C}$を頂点とする三角形の重心の座標が$\displaystyle \left( \frac{7}{3},\ -\frac{5}{3} \right)$であるとき，点$\mathrm{C}$の座標は$[$6$]$である．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に平行な直線の方程式は$[$7$]$であり，$\cos B$の値は$[$8$]$である．
(5)白の碁石が$5$個，黒の碁石が$5$個，合わせて$10$個の碁石から$8$個の碁石を選んで一列に並べるとき，並べ方は$[$9$]$通りある．このうち，同じ色の碁石が連続して$5$個並ぶ並べ方は$[$10$]$通りあり，また白の碁石が連続して$4$個以上並ぶ並べ方は$[$11$]$通りある．
私立 津田塾大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)不等式$|y|<|x|$の表す領域を図示せよ．
(2)不等式$|y|<|x|$の表す領域が不等式$(x-a)^2+(y-b)^2 \leqq 1$の表す領域を含むための点$(a,\ b)$の条件を求め，その条件を満たす点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．
(1)不等式$|y|<|x|$の表す領域を図示せよ．
(2)不等式$|y|<|x|$の表す領域が不等式$(x-a)^2+(y-b)^2 \leqq 1$の表す領域を含むための点$(a,\ b)$の条件を求め，その条件を満たす点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．