「不等式」について
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国立 京都工芸繊維大学 2014年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$2-x<(2+x)e^{-x}$が成り立つことを証明せよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} (2-x) \, dx$および$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} (2+x)e^{-x} \, dx$の値を求めよ．
(3)$(1)$と$(2)$を用いて，不等式$\displaystyle \frac{3}{5}<e^{-\frac{1}{2}}<\frac{17}{28}$が成り立つことを証明せよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$2-x<(2+x)e^{-x}$が成り立つことを証明せよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} (2-x) \, dx$および$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} (2+x)e^{-x} \, dx$の値を求めよ．
(3)$(1)$と$(2)$を用いて，不等式$\displaystyle \frac{3}{5}<e^{-\frac{1}{2}}<\frac{17}{28}$が成り立つことを証明せよ．
国立 鳥取大学 2014年 第3問実数の定数$a,\ b$に対し，関数$f(x)=\sin^2 2x-a(4 \cos^2 x-\cos 2x-2)+b$が与えられている．
(1)$t=\cos 2x$として$f(x)$を$t,\ a,\ b$を用いて表せ．
(2)すべての実数$x$に対して不等式$-1 \leqq f(x) \leqq 3$が成り立つような点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．
(1)$t=\cos 2x$として$f(x)$を$t,\ a,\ b$を用いて表せ．
(2)すべての実数$x$に対して不等式$-1 \leqq f(x) \leqq 3$が成り立つような点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．
国立 鳥取大学 2014年 第1問実数の定数$a,\ b$に対し，関数$f(x)=\sin^2 2x-a(4 \cos^2 x-\cos 2x-2)+b$が与えられている．
(1)$t=\cos 2x$として$f(x)$を$t,\ a,\ b$を用いて表せ．
(2)すべての実数$x$に対して不等式$-1 \leqq f(x) \leqq 3$が成り立つような点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．
(1)$t=\cos 2x$として$f(x)$を$t,\ a,\ b$を用いて表せ．
(2)すべての実数$x$に対して不等式$-1 \leqq f(x) \leqq 3$が成り立つような点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．
国立 愛媛大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{AB}=1$，$\angle \mathrm{A}={90}^\circ$を満たす直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{CP}$と線分$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，線分$\mathrm{AR}$の長さを求めよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{1}{3} \right)^{26}$を小数で表すと，小数第何位に初めて$0$でない数字が現れるか．ただし，必要ならば$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ．
(3)$k$を実数とし，不等式$x^2-2x-3>0$，$x^2-(k+1)x+k>0$を満たす実数$x$の集合をそれぞれ$A,\ B$とする．このとき，$A \subset B$であるための必要十分条件を$k$を用いて表せ．
(1)$\mathrm{AB}=1$，$\angle \mathrm{A}={90}^\circ$を満たす直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{CP}$と線分$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，線分$\mathrm{AR}$の長さを求めよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{1}{3} \right)^{26}$を小数で表すと，小数第何位に初めて$0$でない数字が現れるか．ただし，必要ならば$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ．
(3)$k$を実数とし，不等式$x^2-2x-3>0$，$x^2-(k+1)x+k>0$を満たす実数$x$の集合をそれぞれ$A,\ B$とする．このとき，$A \subset B$であるための必要十分条件を$k$を用いて表せ．
国立 電気通信大学 2014年 第3問次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=0,\quad a_{n+1}=\frac{2n(n+1)}{3n-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)不等式$a_n<n$を数学的帰納法によって証明せよ．
(2)数列$\{b_n\}$を$\displaystyle b_n=\frac{n}{n-a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(5)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n}$および$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_2a_3a_4 \cdots a_n}{n!}$を求めよ．
\[ a_1=0,\quad a_{n+1}=\frac{2n(n+1)}{3n-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)不等式$a_n<n$を数学的帰納法によって証明せよ．
(2)数列$\{b_n\}$を$\displaystyle b_n=\frac{n}{n-a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(5)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n}$および$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_2a_3a_4 \cdots a_n}{n!}$を求めよ．
国立 長崎大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)整式$P(x)$を$(x-1)(x+2)$で割ると余りが$2x-1$，$(x-2)(x-3)$で割ると余りが$x+7$であった．$P(x)$を$(x+2)(x-3)$で割ったときの余りを求めよ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\cos 3\theta+2 \cos \theta=0$を満たす$\theta$の値をすべて求めよ．
(3)不等式$2 \cdot 3^{2x}-3^{x+2}+9<0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(1)整式$P(x)$を$(x-1)(x+2)$で割ると余りが$2x-1$，$(x-2)(x-3)$で割ると余りが$x+7$であった．$P(x)$を$(x+2)(x-3)$で割ったときの余りを求めよ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\cos 3\theta+2 \cos \theta=0$を満たす$\theta$の値をすべて求めよ．
(3)不等式$2 \cdot 3^{2x}-3^{x+2}+9<0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
国立 信州大学 2014年 第5問関数$f(x)$は，$f^{\prime\prime}(x)<0$をみたすとする．$t \geqq 0$のとき，次の$(1)$，$(2)$の不等式が成り立つことを示せ．
(1)$f(0)+f^\prime(t)t \leqq f(t) \leqq f(0)+f^\prime(0)t$
(2)$\displaystyle \frac{f(0)t+f(t)t}{2} \leqq \int_0^t f(u) \, du \leqq f(0)t+\frac{f^\prime(0)}{2}t^2$
(1)$f(0)+f^\prime(t)t \leqq f(t) \leqq f(0)+f^\prime(0)t$
(2)$\displaystyle \frac{f(0)t+f(t)t}{2} \leqq \int_0^t f(u) \, du \leqq f(0)t+\frac{f^\prime(0)}{2}t^2$
国立 信州大学 2014年 第6問すべての実数$x,\ y$に対して不等式
\[ \frac{1}{1+x^2+(y-x)^2} \leqq \frac{a}{1+x^2+y^2} \]
が成り立つとき，$a$の値の範囲を求めよ．
\[ \frac{1}{1+x^2+(y-x)^2} \leqq \frac{a}{1+x^2+y^2} \]
が成り立つとき，$a$の値の範囲を求めよ．
国立 福島大学 2014年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)$a,\ b$を正の実数とするとき，不等式
\[ a^3+b^3 \geqq a^2b+ab^2 \]
が成り立つことを示しなさい．
(2)$2$次方程式
\[ 2x^2-kx+1=0 \]
が，$0<x<1$および$1<x<2$の範囲に解を$1$つずつもつとき，定数$k$の値の範囲を求めなさい．
(3)正の実数$x,\ y,\ z$が
\[ \frac{yz}{x}=\frac{zx}{4y}=\frac{xy}{9z} \]
を満たすとする．このとき，式
\[ \frac{x+y+z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \]
の値を求めなさい．
(1)$a,\ b$を正の実数とするとき，不等式
\[ a^3+b^3 \geqq a^2b+ab^2 \]
が成り立つことを示しなさい．
(2)$2$次方程式
\[ 2x^2-kx+1=0 \]
が，$0<x<1$および$1<x<2$の範囲に解を$1$つずつもつとき，定数$k$の値の範囲を求めなさい．
(3)正の実数$x,\ y,\ z$が
\[ \frac{yz}{x}=\frac{zx}{4y}=\frac{xy}{9z} \]
を満たすとする．このとき，式
\[ \frac{x+y+z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \]
の値を求めなさい．
私立 慶應義塾大学 2014年 第2問$a,\ b,\ c$を実数とする．$x$の関数$F(x)$を
\[ F(x)=\frac{1}{3}x^3+ax^2+bx+c \]
と定め，
\[ f(x)=F^\prime(x) \]
とおく．関数$F(x)$は$x=\alpha$において極大に，$x=\beta$において極小になるとする．点$(\alpha,\ f(\alpha))$，$(\beta,\ f(\beta))$における曲線$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とする．
(1)直線$\ell_\alpha$と$\ell_\beta$の交点の座標は
\[ \left( \frac{[$15$]}{[$16$]} \alpha+\frac{[$17$]}{[$18$]} \beta,\ \frac{[$19$][$20$]}{[$21$]} (\beta-\alpha)^2 \right) \]
である．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とで囲まれた図形の面積を$S$とすると，
\[ S=\frac{[$22$]}{[$23$][$24$]} (\beta-\alpha)^3 \]
である．必要なら次の公式を使ってよい．$r$を実数とすると
\[ \int (x+r)^2 \, dx=\frac{1}{3}(x+r)^3+C \quad (C \text{は定数}) \]
(3)実数$a,\ b$が不等式
\[ 0 \leqq a \leqq 2,\quad 2a-4 \leqq b \leqq 2a-2 \]
をみたす範囲を動くとき，$S$の最大値は$\displaystyle \frac{[$25$][$26$]}{[$27$]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[$28$][$29$]}{[$30$]}$である．
\[ F(x)=\frac{1}{3}x^3+ax^2+bx+c \]
と定め，
\[ f(x)=F^\prime(x) \]
とおく．関数$F(x)$は$x=\alpha$において極大に，$x=\beta$において極小になるとする．点$(\alpha,\ f(\alpha))$，$(\beta,\ f(\beta))$における曲線$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とする．
(1)直線$\ell_\alpha$と$\ell_\beta$の交点の座標は
\[ \left( \frac{[$15$]}{[$16$]} \alpha+\frac{[$17$]}{[$18$]} \beta,\ \frac{[$19$][$20$]}{[$21$]} (\beta-\alpha)^2 \right) \]
である．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とで囲まれた図形の面積を$S$とすると，
\[ S=\frac{[$22$]}{[$23$][$24$]} (\beta-\alpha)^3 \]
である．必要なら次の公式を使ってよい．$r$を実数とすると
\[ \int (x+r)^2 \, dx=\frac{1}{3}(x+r)^3+C \quad (C \text{は定数}) \]
(3)実数$a,\ b$が不等式
\[ 0 \leqq a \leqq 2,\quad 2a-4 \leqq b \leqq 2a-2 \]
をみたす範囲を動くとき，$S$の最大値は$\displaystyle \frac{[$25$][$26$]}{[$27$]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[$28$][$29$]}{[$30$]}$である．