$\displaystyle f(x)=\frac{x}{{2}^x}$とし，$f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$c$を$0 \leqq c \leqq 2$とする．このとき，$0 \leqq x \leqq 2$を満たす$x$に対して，不等式
\[ f(x) \leqq f^\prime(c)(x-c)+f(c) \]
が成り立つことを示せ．また，等号が成立するのはどのようなときか述べよ．
(2)$n$を自然数とする．$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$は$0$以上の実数で，$x_1+x_2+\cdots +x_n=2$を満たすとする．このとき，不等式
\[ f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n) \leqq n f \left( \frac{2}{n} \right) \]
が成り立つことを示せ．また，等号が成立するのはどのようなときか述べよ．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を，
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
a_1=1, & a_{n+1}=\sqrt{2b_n+1} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_1=3, & b_{n+1}=\sqrt{2a_n+1} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
と定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\alpha=1+\sqrt{2}$とする．自然数$n$に対して，不等式$|a_{n+1|-\alpha} \leqq \left( \displaystyle \frac{2}{1+\alpha} \right) |b_n-\alpha|$が成り立つことを示せ．
(2)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=x-\frac{2}{x}$のグラフの概形をかけ．
(2)不等式$\displaystyle |x-\displaystyle\frac{2|{x}}<1$を解け．

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=x-\frac{2}{x}$のグラフの概形をかけ．
(2)不等式$\displaystyle |x-\displaystyle\frac{2|{x}}<1$を解け．

関数$f(x)$は導関数$f^\prime(x)$および第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもち，区間$0 \leqq x \leqq 1$において，
\[ f(x)>0,\quad \{f^\prime(x)\}^2 \leqq f(x)f^{\prime\prime}(x) \leqq 2 \{f^\prime(x)\}^2 \]
を満たしている．$f(0)=a$，$f(1)=b$とするとき，次の不等式を示せ．

(1)$\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right) \leqq \frac{a+b}{2}$

(2)$\displaystyle f \left( \frac{1}{3} \right) \leqq \sqrt[3]{a^2b}$

(3)$\displaystyle f \left( \frac{1}{4} \right) \geqq \frac{4ab}{a+3b}$

(4)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx \leqq \frac{1}{4}a+\frac{1}{2} \sqrt{ab}+\frac{1}{4}b$

次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示せ．
(2)$f(x)=x^2 \log x (x>0)$とおく．$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)=0$を示せ．
(3)$f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(4)$\displaystyle I(t)=\int_t^2 f(x) \, dx (t>0)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{t \to +0}I(t)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示せ．
(2)$f(x)=x^2 \log x (x>0)$とおく．$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)=0$を示せ．
(3)$f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(4)$\displaystyle I(t)=\int_t^2 f(x) \, dx (t>0)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{t \to +0}I(t)$を求めよ．

$xy$平面内の直線$L$を$x-ay+a^2-1=0$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．

(1)直線$L$と$x$軸との交点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)直線$L$は$a$が$0$でないとき$y$軸と交わる．このときの$y$軸との交点の座標を$a$を用いて表せ．
(3)直線$L$上の点$(x,\ y)$がとりえる範囲を，$x$と$y$に関する不等式で表せ．
(4)$(3)$で求めた範囲の境界を曲線$C$とする．直線$L$と曲線$C$が接することを示し，接点の座標を$a$を用いて表せ．
(5)$a>0$のとき，直線$L$と$(4)$の曲線$C$および$x$軸で囲まれ，かつ$x \geqq 0$の部分の面積を$a$を用いて表せ．

関数$f(x)$と$g(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
|x \log \abs{x|} & (x \neq 0) \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
0 \phantom{\frac{[　]}{2}} & (x=0)
\end{array} \right. \]
\[ g(x)=-x^2+1 \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示し，これを用いて$f(x)$は$x=0$で連続であることを示せ．
(2)$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)方程式$f(x)=g(x)$の解は$x=-1,\ 1$のみであることを示せ．
(4)$0<r<1$とする．曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$によって囲まれた図形のうち，$x \geqq r$の範囲の部分の面積を$S(r)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{r \to +0} S(r)$を求めよ．

$a$は定数で$0 \leqq a \leqq 1$とする．$3$次関数$f(x)=(x+1)x(x-a)$および$g(x)=f(x-1)$を考える．

(1)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$のすべての交点の$x$座標を求めよ．
(2)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分を$A$とする．$A$の面積$S(a)$および$A$の$x \leqq a$をみたす部分の面積$S_1(a)$を求めよ．
(3)$(2)$の$A$で不等式$x \geqq a$をみたす部分の面積を$S_2(a)$とする．$S_2(a)$が最大となるときの$a$の値とその最大値を求めよ．