$t>0$において定義された関数$f(t)$は次の条件（ア），（イ）を満たす．

\mon[（ア）] $t>0$のとき，すべての実数$x$に対して不等式
\[ t \cdot \frac{e^x+e^{-x}}{2}+f(t) \geqq 1+x \]
が成り立つ．
\mon[（イ）] $t>0$に対して，等式
\[ t \cdot \frac{e^x+e^{-x}}{2}+f(t)=1+x \]
を満たす実数$x$が存在する．
このとき，$f(t)$を求めよ．

$a>1$とし，次の不等式を考える．
\[ (*) \quad \frac{e^t-1}{t} \geqq e^{\frac{t}{a}}\]

(1)$a=2$のとき，すべての$t>0$に対して上の不等式$(*)$が成り立つことを示せ．
(2)すべての$t>0$に対して上の不等式$(*)$が成り立つような$a$の範囲を求めよ．

$\alpha>1$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=\alpha,\quad a_{n+1}=\sqrt{\frac{2a_n}{a_n+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．次の不等式が成り立つことを証明せよ．

(1)$a_n>1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

(2)$\displaystyle \sqrt{x}-1 \leqq \frac{1}{2}(x-1) \quad (\text{ただし，} x \geqq 0 \text{とする．})$

(3)$\displaystyle a_n-1 \leqq \left( \frac{1}{4} \right)^{n-1}(\alpha-1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

座標平面において，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
2 & 3
\end{array} \right)$の表す一次変換を$f$とする．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，点$\mathrm{P}(2+\cos \theta,\ \sin \theta)$を$f$で移した点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)不等式$a_1 \leqq x \leqq a_2$，$b_1 \leqq y \leqq b_2$の表す領域を$T$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$を満たすすべての$\theta$に対して，$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$が領域$T$に入るとする．$T$の面積が最小となるときの$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2$を求めよ．
(3)不等式$(x-2)^2+(y-4)^2 \leqq r^2$の表す領域を$H$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$を満たすすべての$\theta$に対して，$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$が領域$H$に入るとする．このとき，正の数$r$の最小値を求めよ．

不等式$1 \leqq x^2+y^2 \leqq 4$が表す$xy$平面内の領域を$D$とする．$\mathrm{P}$を円$x^2+y^2=1$上の点，$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$を円$x^2+y^2=4$上の異なる$2$点とし，三角形$\mathrm{PQR}$は領域$D$に含まれているとする．$a,\ b$を実数とし，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right)$の表す$1$次変換により$\mathrm{P}$は$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}$は$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}$は$\mathrm{R}^\prime$に移されるとする．このとき，三角形$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$が領域$D$に含まれるための$a,\ b$の必要十分条件を求めよ．ただし，三角形は内部も含めて考えるものとする．

以下の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数，$a$を正の定数として，
\[ f(x)=(n+1) \{ \log (a+x)-\log (n+1) \}-n(\log a-\log n)-\log x \]
とおく．$x>0$における関数$f(x)$の極値を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．
(2)$n$が$2$以上の自然数のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k+1}{k}>(n+1)^{\frac{1}{n}} \]

以下の問いに答えよ．

(1)正の実数$a,\ b,\ c$について，不等式
\[ \frac{\log a}{a}+\frac{\log b}{b}+\frac{\log c}{c}<\log 4 \]
が成立することを示せ．ただし，$\log$は自然対数とし，必要なら$e>2.7$および$\log 2>0.6$を用いてもよい．
(2)自然数$a,\ b,\ c,\ d$の組で
\[ a^{bc} b^{ca} c^{ab}=d^{abc},\quad a \leqq b \leqq c,\quad d \geqq 3 \]
を満たすものをすべて求めよ．

$r$を$r>1$である実数とし，数列$\{a_n\}$を次で定める．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\frac{a_n+r^2}{a_n+1} \]
以下の問いに答えよ．

(1)$n$が奇数のとき$a_n<r$，$n$が偶数のとき$a_n>r$であることを示せ．
(2)任意の自然数$n$について，$a_{n+2}-r$を$a_n$と$r$を用いて表せ．
(3)任意の自然数$n$について，次の不等式を示せ．
\[ \frac{a_{2n+2}-r}{a_{2n}-r}<\left( \frac{r-1}{r+1} \right)^2 \]
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{2n}$および$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{2n+1}$を求めよ．

自然数$n$に対して，$\displaystyle a_n=\int_0^1 \frac{x^2+(-x^2)^{n+1}}{1+x^2} \, dx$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して，不等式
\[ |\int_0^1 \displaystyle\frac{x^2|{1+x^2} \, dx-a_n} \leqq \frac{1}{2n+3} \]
が成り立つことを示せ．

(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} \, dx$を求めよ．

(3)自然数$n$に対して，$\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}$となることを示せ．

(4)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}$を求めよ．

関数$f(x)$は，$f^{\prime\prime}(x)<0$をみたすとする．$t \geqq 0$のとき，次の$(1)$，$(2)$の不等式が成り立つことを示せ．

(1)$f(0)+f^\prime(t)t \leqq f(t) \leqq f(0)+f^\prime(0)t$

(2)$\displaystyle \frac{f(0)t+f(t)t}{2} \leqq \int_0^t f(u) \, du \leqq f(0)t+\frac{f^\prime(0)}{2}t^2$