「不等式」について
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私立 慶應義塾大学 2015年 第5問方程式$y=|x|$を満たす座標平面上の点$(x,\ y)$全体の集合$B$を
$B=\{(x,\ y) \;\bigl| \;$点$(x,\ y)$は方程式$y=|x|$を満たす$\}$
と表す．同様に，集合$C_r(a,\ b)$，$D$をそれぞれ
$C_r(a,\ b)=\{(x,\ y) \;\bigl| \;$点$(x,\ y)$は方程式$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$を満たす$\}$，
\qquad\quad\;\! $D=\{(x,\ y) \;\bigl| \;$点$(x,\ y)$は不等式$y \leqq |x|$を満たす$\}$
で定める．ただし，$a,\ b$は実数，$r$は正の実数とする．
(1)集合$B \cap C_r(1,\ 2)$が$2$個の要素からなるように，$r$の値の範囲を定めよ．
(2)$C_{2 \sqrt{2}}(a,\ b) \subset D$が成り立つような点$(a,\ b)$全体の集合を斜線で図示せよ．
$B=\{(x,\ y) \;\bigl| \;$点$(x,\ y)$は方程式$y=|x|$を満たす$\}$
と表す．同様に，集合$C_r(a,\ b)$，$D$をそれぞれ
$C_r(a,\ b)=\{(x,\ y) \;\bigl| \;$点$(x,\ y)$は方程式$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$を満たす$\}$，
\qquad\quad\;\! $D=\{(x,\ y) \;\bigl| \;$点$(x,\ y)$は不等式$y \leqq |x|$を満たす$\}$
で定める．ただし，$a,\ b$は実数，$r$は正の実数とする．
(1)集合$B \cap C_r(1,\ 2)$が$2$個の要素からなるように，$r$の値の範囲を定めよ．
(2)$C_{2 \sqrt{2}}(a,\ b) \subset D$が成り立つような点$(a,\ b)$全体の集合を斜線で図示せよ．
私立 広島工業大学 2015年 第6問次の問いに答えよ．
(1)不等式$6-x^2 \geqq |x|$を解け．
(2)$(1)$の範囲で，関数$y=x^2-2 |x|-1$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
(1)不等式$6-x^2 \geqq |x|$を解け．
(2)$(1)$の範囲で，関数$y=x^2-2 |x|-1$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
私立 金沢工業大学 2015年 第5問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，方程式$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta=0$を満たす$\theta$の値は$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{[ア]}$，$\frac{[イ]}{[ウ]} \pi$である．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$\sin^2 \theta-3 \cos^2 \theta \geqq 0$を満たす$\theta$の値の範囲は$\displaystyle \frac{\pi}{[エ]} \leqq \theta \leqq \frac{[オ]}{[カ]} \pi$，$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \pi \leqq \theta \leqq \frac{[ケ]}{[コ]} \pi$である．
(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，方程式$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta=0$を満たす$\theta$の値は$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{[ア]}$，$\frac{[イ]}{[ウ]} \pi$である．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$\sin^2 \theta-3 \cos^2 \theta \geqq 0$を満たす$\theta$の値の範囲は$\displaystyle \frac{\pi}{[エ]} \leqq \theta \leqq \frac{[オ]}{[カ]} \pi$，$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \pi \leqq \theta \leqq \frac{[ケ]}{[コ]} \pi$である．
私立 金沢工業大学 2015年 第1問関数$f(x)=\sqrt{7x-3}-1$について考える．
(1)$f(x)$の逆関数は$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{[ア]}{[イ]}(x^2+[ウ]x+[エ]) (x \geqq [オカ])$である．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=x$との交点の座標は$([キ],\ [ク])$，$([ケ],\ [コ])$である．ただし，$[キ]<[ケ]$とする．
(3)不等式$f^{-1}(x) \leqq f(x)$の解は$[サ] \leqq x \leqq [シ]$である．
(1)$f(x)$の逆関数は$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{[ア]}{[イ]}(x^2+[ウ]x+[エ]) (x \geqq [オカ])$である．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=x$との交点の座標は$([キ],\ [ク])$，$([ケ],\ [コ])$である．ただし，$[キ]<[ケ]$とする．
(3)不等式$f^{-1}(x) \leqq f(x)$の解は$[サ] \leqq x \leqq [シ]$である．
私立 東京理科大学 2015年 第3問不等式$\displaystyle \frac{x}{x-1} \geqq 0$を満たす実数$x$の範囲を定義域とする関数
\[ f(x)=3x \sqrt{\frac{x}{x-1}} \]
について，以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)$\displaystyle a_1=\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$，$\displaystyle a_2=\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}$とする．$a_1$，$a_2$の値を求めよ．
(3)$(2)$の$a_1,\ a_2$に対して，$\displaystyle b_1=\lim_{x \to \infty}(f(x)-a_1x)$，$\displaystyle b_2=\lim_{x \to -\infty}(f(x)-a_2x)$とする．$b_1$，$b_2$の値を求めよ．
(4)関数$f(x)$の極小値を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$の漸近線の方程式を求めよ．
(6)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
\[ f(x)=3x \sqrt{\frac{x}{x-1}} \]
について，以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)$\displaystyle a_1=\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$，$\displaystyle a_2=\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}$とする．$a_1$，$a_2$の値を求めよ．
(3)$(2)$の$a_1,\ a_2$に対して，$\displaystyle b_1=\lim_{x \to \infty}(f(x)-a_1x)$，$\displaystyle b_2=\lim_{x \to -\infty}(f(x)-a_2x)$とする．$b_1$，$b_2$の値を求めよ．
(4)関数$f(x)$の極小値を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$の漸近線の方程式を求めよ．
(6)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
私立 北里大学 2015年 第2問不等式$\cos 2\theta<\sin \theta (0 \leqq \theta<2\pi)$の解は$[ウ]$である．
私立 学習院大学 2015年 第3問関数
\[ f(x)=\frac{\log x}{x} \quad (x>0) \]
を考える．
(1)$x$が正の実数全体を動くとき，$f(x)$の最大値と，最大値を与える$x$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点の座標を求めよ．
(3)不等式
\[ \int_1^n f(x) \, dx>2 \]
を満たす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，自然対数の底$e$は$2.7<e<2.8$を満たすことを用いてよい．
\[ f(x)=\frac{\log x}{x} \quad (x>0) \]
を考える．
(1)$x$が正の実数全体を動くとき，$f(x)$の最大値と，最大値を与える$x$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点の座標を求めよ．
(3)不等式
\[ \int_1^n f(x) \, dx>2 \]
を満たす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，自然対数の底$e$は$2.7<e<2.8$を満たすことを用いてよい．
私立 金沢工業大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}},\ y=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$のとき，
\[ xy=\frac{[ア]}{[イ]},\quad x+y=\frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である．
(2)$a,\ b$を定数とする．不等式$x-2a \leqq 3x+b \leqq x+2$の解が$4 \leqq x \leqq 5$であるとき，$a=[カ]$，$b=[キク]$である．
(3)$2$次方程式$x^2-3x-5=0$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，
$m \leqq \alpha<m+1$を満たす整数$m$の値は$m=[ケコ]$，
$n \leqq \beta<n+1$を満たす整数$n$の値は$n=[サ]$
である．
(4)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使ってできる$4$桁の整数のうち，$2$の倍数は$[シスセ]$個ある．ただし，同じ数字をくり返し使わないものとする．
(5)方程式$5x+7y=1 \cdots\cdots①$の整数解$x,\ y$を求める．
$5 \cdot 3+7 \cdot ([ソタ])=1 \cdots\cdots②$が成り立ち，$①,\ ②$から
\[ 5(x-3)+7(y+[チ])=0 \]
が成り立つ．よって，$x-3=[ツ]n$（$n$は整数）とおけるから，$①$のすべての整数解は
\[ x=[ツ]n+3,\quad y=[テト]n-[チ] \quad (n \text{は整数}) \]
と表せる．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=6$，$\displaystyle \cos A=\frac{9}{16}$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[アイ] \sqrt{[ウ]}}{[エ]}$であり，その内接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．
(7)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3} (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$のとき，$\displaystyle \sin^2 \theta-\cos^2 \theta=\frac{[キ] \sqrt{[クケ]}}{[コ]}$である．
(8)箱の中に赤玉$1$個，黄玉$2$個，白玉$2$個の計$5$個の玉がある．この$5$個の玉から$1$個の玉を取り出し，その色を確認して元に戻す．この試行をくり返して，赤玉を取り出すか，または，黄玉を$2$回取り出したときに試行を終了するものとする．このとき，$3$回目の試行で終了する確率は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセソ]}$である．
(1)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}},\ y=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$のとき，
\[ xy=\frac{[ア]}{[イ]},\quad x+y=\frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である．
(2)$a,\ b$を定数とする．不等式$x-2a \leqq 3x+b \leqq x+2$の解が$4 \leqq x \leqq 5$であるとき，$a=[カ]$，$b=[キク]$である．
(3)$2$次方程式$x^2-3x-5=0$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，
$m \leqq \alpha<m+1$を満たす整数$m$の値は$m=[ケコ]$，
$n \leqq \beta<n+1$を満たす整数$n$の値は$n=[サ]$
である．
(4)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使ってできる$4$桁の整数のうち，$2$の倍数は$[シスセ]$個ある．ただし，同じ数字をくり返し使わないものとする．
(5)方程式$5x+7y=1 \cdots\cdots①$の整数解$x,\ y$を求める．
$5 \cdot 3+7 \cdot ([ソタ])=1 \cdots\cdots②$が成り立ち，$①,\ ②$から
\[ 5(x-3)+7(y+[チ])=0 \]
が成り立つ．よって，$x-3=[ツ]n$（$n$は整数）とおけるから，$①$のすべての整数解は
\[ x=[ツ]n+3,\quad y=[テト]n-[チ] \quad (n \text{は整数}) \]
と表せる．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=6$，$\displaystyle \cos A=\frac{9}{16}$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[アイ] \sqrt{[ウ]}}{[エ]}$であり，その内接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．
(7)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3} (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$のとき，$\displaystyle \sin^2 \theta-\cos^2 \theta=\frac{[キ] \sqrt{[クケ]}}{[コ]}$である．
(8)箱の中に赤玉$1$個，黄玉$2$個，白玉$2$個の計$5$個の玉がある．この$5$個の玉から$1$個の玉を取り出し，その色を確認して元に戻す．この試行をくり返して，赤玉を取り出すか，または，黄玉を$2$回取り出したときに試行を終了するものとする．このとき，$3$回目の試行で終了する確率は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセソ]}$である．
私立 南山大学 2015年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)$a,\ b$を実数とする．$x$の方程式$x^3+ax^2+6x+b=0$の$1$つの解が$x=-1+i$であるとき，$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[ア]$であり，残りの解は$x=[イ]$である．
(2)$x>0$とする．不等式$(\log_2 x)^2-5 \log_2 x-6<0$を解くと$[ウ]$である．また，$x$の方程式$x^{\log_2 x}=2^a x^5$が解をもつような$a$の値の範囲を求めると$[エ]$である．
(3)実数$a,\ b,\ c,\ k$が$5a-b-c=ka$，$-a+5b-c=kb$，$-a-b+5c=kc$，$abc \neq 0$を満たしている．このとき，$k$の値を求めると$k=[オ]$であり，$\displaystyle R=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$の値を求めると$R=[カ]$である．
(4)$4$人がじゃんけんを$1$回するとき，$1$人だけが勝つ確率は$[キ]$であり，誰も勝たない確率は$[ク]$である．ただし，各人がグー，チョキ，パーを出す確率は，それぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$である．
(1)$a,\ b$を実数とする．$x$の方程式$x^3+ax^2+6x+b=0$の$1$つの解が$x=-1+i$であるとき，$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[ア]$であり，残りの解は$x=[イ]$である．
(2)$x>0$とする．不等式$(\log_2 x)^2-5 \log_2 x-6<0$を解くと$[ウ]$である．また，$x$の方程式$x^{\log_2 x}=2^a x^5$が解をもつような$a$の値の範囲を求めると$[エ]$である．
(3)実数$a,\ b,\ c,\ k$が$5a-b-c=ka$，$-a+5b-c=kb$，$-a-b+5c=kc$，$abc \neq 0$を満たしている．このとき，$k$の値を求めると$k=[オ]$であり，$\displaystyle R=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$の値を求めると$R=[カ]$である．
(4)$4$人がじゃんけんを$1$回するとき，$1$人だけが勝つ確率は$[キ]$であり，誰も勝たない確率は$[ク]$である．ただし，各人がグー，チョキ，パーを出す確率は，それぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$である．
私立 東京電機大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)方程式$11+\log_2 x=\log_2 (33x+1)$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\cos 2x+3 \sin x-2 \geqq 0$を解け．
(3)$3$次式$f(x)$は$x^3$の係数が$1$であり，しかも$f(1)=f(2)=f(6)=12$をみたしている．方程式$f(x)=0$を解け．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x-\sin x}{\sin 5x+\sin x}$を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_1^e \frac{\log x}{\sqrt{x}} \, dx$を求めよ．
(1)方程式$11+\log_2 x=\log_2 (33x+1)$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\cos 2x+3 \sin x-2 \geqq 0$を解け．
(3)$3$次式$f(x)$は$x^3$の係数が$1$であり，しかも$f(1)=f(2)=f(6)=12$をみたしている．方程式$f(x)=0$を解け．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x-\sin x}{\sin 5x+\sin x}$を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_1^e \frac{\log x}{\sqrt{x}} \, dx$を求めよ．