初項$1$，公差$3$の等差数列$\{a_n\}$と，一般項が$\displaystyle b_n=\left[ \frac{2n+2}{3} \right]$で与えられる数列$\{b_n\}$がある．ここで，実数$x$に対して$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．たとえば，$\displaystyle b_1=\left[ \frac{4}{3} \right]=1$，$b_2=[2]=2$，$\displaystyle b_3=\left[ \frac{8}{3} \right]=2$である．数列$\{a_n\}$を次のように，$b_1$個，$b_2$個，$b_3$個，$\cdots$の群に分け，第$k$群には$b_k$個の数が入るようにする．

$\big| \quad a_1 \quad \big| \quad a_2,\ a_3 \quad \big| \quad a_4,\ a_5 \quad \big| \quad a_6,\ \cdots$
\ 第$1$群 \quad 第$2$群 \qquad\ 第$3$群 \qquad $\cdots$

第$k$群の最初の数を$c_k$とする．次に答えよ．

(1)自然数$m$に対して，$b_{3m-2}$，$b_{3m-1}$，$b_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ．また，数列 $\{b_n\}$の初項から第$3m$項までの和$S_{3m}$を求めよ．
(2)自然数$m$に対して，$c_{3m-2}$，$c_{3m-1}$，$c_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ．また，数列 $\{c_k\}$の初項から第$3m$項までの和$T_{3m}$を求めよ．
(3)$1000$は第何群の何番目の数か．
(4)$x \geqq 1$のとき$\displaystyle \sqrt{x^2+1}<x+\frac{1}{2}$であることを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．ただし，$m$は自然数とする．
\[ \sum_{k=1}^{3m} (\sqrt{c_k}-k)<\frac{m}{2} \]

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \tan \frac{x}{2}=m$とするとき，等式$\displaystyle \sin x=\frac{2m}{1+m^2},\ \cos x=\frac{1-m^2}{1+m^2}$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle -\pi<x<\frac{\pi}{2}$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sin x+\cos x \geqq \tan \frac{x}{2} \]

$c$を実数とする．数列$\{a_n\}$は次を満たす．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\frac{{a_n}^2+cn-4}{3n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$a_2,\ a_3$を$c$を用いて表せ．
(2)$a_1+a_3 \leqq 2a_2$のとき，不等式$a_n \geqq 3 (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$を示せ．
(3)$a_1+a_3=2a_2$のとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ -x^2-x \leqq \log (1-x) \leqq -x \]
(2)数列$\{a_n\}$を次によって定める．
\[ \begin{array}{rcl}
a_1 &=& \displaystyle \left( 1-\frac{1}{2 \cdot 1^2} \right) \\
a_2 &=& \displaystyle \left( 1-\frac{1}{2 \cdot 2^2} \right) \left( 1-\frac{2}{2 \cdot 2^2} \right) \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}} \\
& \vdots & \\
a_n &=& \displaystyle \left( 1-\frac{1}{2n^2} \right) \left( 1-\frac{2}{2n^2} \right) \cdots \left( 1-\frac{n}{2n^2} \right)
\end{array} \]
このとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)${(x-3y+2z)}^7$の展開式における$x^4y^2z$の項の係数を求めよ．
(2)$a$を定数とし，$0<a<1$とする．不等式
\[ \log_a (a-x-y)>\log_ax+\log_ay \]
が表す領域を図示せよ．
(3)$n$は$3$以上の自然数とする．数学的帰納法によって，次の不等式を証明せよ．
\[ 2^n>\frac{1}{2}n^2+n \]

次の問いに答えよ．

(1)${(x-3y+2z)}^7$の展開式における$x^4y^2z$の項の係数を求めよ．
(2)$a$は正の定数で，$a \neq 1$とする．不等式
\[ \log_a (a-x-y)>\log_ax+\log_ay \]
が表す領域を図示せよ．
(3)$n$は$3$以上の自然数とする．数学的帰納法によって，次の不等式を証明せよ．
\[ 2^n>\frac{1}{2}n^2+n \]

$n$を自然数とし，曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n}$と円$x^2+y^2=1$の第$1$象限における交点の座標を$(p_n,\ q_n)$とする．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle n \sin \frac{x}{n}<x$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$\displaystyle p_n>\frac{1}{\sqrt{2}}$が成り立つことを示せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，不等式
\[ (*) \quad \left( n \sin \frac{1}{n} \right) x \leqq n \sin \frac{x}{n} \]
が成り立つことを利用して，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 不等式$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{\sqrt{1+n^2 \sin^2 \displaystyle\frac{1}{n}}}$が成り立つことを示せ．
(ii) $x$軸，直線$x=p_n$，および曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n} (0 \leqq x \leqq p_n)$で囲まれた領域の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$p_n$を用いて表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

(4)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，$(3)$の不等式$(*)$が成り立つことを示せ．

$n$を自然数とし，曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n}$と円$x^2+y^2=1$の第$1$象限における交点の座標を$(p_n,\ q_n)$とする．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle n \sin \frac{x}{n}<x$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$\displaystyle p_n>\frac{1}{\sqrt{2}}$が成り立つことを示せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，不等式
\[ (*) \quad \left( n \sin \frac{1}{n} \right) x \leqq n \sin \frac{x}{n} \]
が成り立つことを利用して，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 不等式$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{\sqrt{1+n^2 \sin^2 \displaystyle\frac{1}{n}}}$が成り立つことを示せ．
(ii) $x$軸，直線$x=p_n$，および曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n} (0 \leqq x \leqq p_n)$で囲まれた領域の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$p_n$を用いて表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

(4)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，$(3)$の不等式$(*)$が成り立つことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．$y=g(x)$を$2$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$を通る直線の方程式とするとき，区間$(a,\ b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$j=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$について
\[ \frac{\log j+\log (j+1)}{2}<\int_j^{j+1} \log x \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1} \]

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．$y=g(x)$を$2$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$を通る直線の方程式とするとき，区間$(a,\ b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$j=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$について
\[ \frac{\log j+\log (j+1)}{2}<\int_j^{j+1} \log x \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1} \]