次の問いに答えなさい．

(1)次の関数の最大値および最小値を求めなさい．
\[ f(x)=|x|+|x-1|+|x-2| \quad (-1 \leqq x \leqq 3) \]
(2)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=10$のとき，$\log_{10}x+\log_{10}y$の最大値を求めなさい．
(3)$f(\theta)=5 \sin \theta-12 \cos \theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$の最大値および最小値を求めなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}$を求めなさい．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{x^2-2x-3}$を求めなさい．

(3)曲線$y=\sqrt{x^2-1}$の$1 \leqq x \leqq 2$の部分を$y$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めなさい．
(4)曲線$y=xe^x+1$の$x=1$に対応する点における接線と法線の方程式を求めなさい．

$\alpha,\ \beta$を
\[ \alpha=\lim_{n \to \infty} \left( \frac{(3n+1)(3n+2)(3n+3) \cdots (3n+n)}{(n+1)(n+2)(n+3) \cdots (n+n)} \right)^{\frac{1}{n}} \]
および
\[ \beta=\lim_{n \to \infty} \left( \frac{(3n^2+1^2)(3n^2+2^2)(3n^2+3^2) \cdots (3n^2+n^2)}{(n^2+1^2)(n^2+2^2)(n^2+3^2) \cdots (n^2+n^2)} \right)^{\frac{1}{n}} \]
とおく．このとき$\alpha<\beta$を示せ．また，$\alpha$と$\beta$の値をそれぞれ求めよ．

袋の中に$5$個の玉が入っている．それらは，$0$と書かれた玉が$2$個，$1$と書かれた玉，$-1$と書かれた玉，$2$と書かれた玉がそれぞれ$1$個ずつである．この袋の中から$3$個の玉を取り出す．取り出した$3$個の玉に書かれた数字の和を$m$とする．次に，袋の中に残った$2$個の玉に書かれた数字の積を$n$とする．このように定義された$m$と$n$のもとで，$2$次関数
\[ f(x)=x^2-mx+n \]
を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$m$のとり得る値をすべて求めよ．
(2)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$をすべて求めよ．
(3)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$のすべてについて，それぞれが起こる確率を求めよ．
(4)不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ．
(5)方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha,\ \beta$をもち，同時に$\alpha<2$かつ$\beta<2$となる確率を求めよ．

$u$を任意の実数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)座標平面上の点$\mathrm{P}(u,\ u-1)$を通り，曲線$y=x^2$に接する直線は，ちょうど$2$本あることを示せ．
(2)$(1)$における$2$直線と曲線$y=x^2$の接点を，それぞれ$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{B}(\beta,\ \beta^2)$とするとき，$\alpha$と$\beta$をそれぞれ$u$の式で表せ．ただし，$\alpha<\beta$とする．
(3)$(1)$における$2$直線と曲線$y=x^2$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，$S$を$u$の式で表せ．
(4)$(3)$で求めた面積$S$の最小値を求めよ．

$m \geqq 1$を整数とする．関数$f(x)=(\pi-x) \sin mx (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=0$となるすべての$x (0 \leqq x \leqq \pi)$の値を，小さい順に$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$で表す．このとき，$N$を$m$の式で表し，$x_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ N)$を$k$と$m$の式で表せ．
(2)$(1)$で定めた$x_k$と$x_{k+1} (k=1,\ 2,\ \cdots,\ N-1)$に対し，曲線$y=f(x) (x_k \leqq x \leqq x_{k+1})$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S_k$とするとき，$S_k$を$k$と$m$の式で表せ．
(3)$(2)$で求めた面積$S_k$の$k=1$から$N-1$までの和$\displaystyle \sum_{k=1}^{N-1} S_k$を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$上に頂点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とは異なる点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{AB}=l$，$\mathrm{AP}=m$，$\angle \mathrm{PAB}=\alpha$，$\angle \mathrm{PAC}=\beta$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\triangle \mathrm{ABP}$の面積を$l,\ m,\ \alpha$を用いて表しなさい．
(2)$\mathrm{AC}$の長さおよび$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を$l,\ m,\ \alpha,\ \beta$を用いて表しなさい．
(3)次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\[ S \geqq \frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)} \]

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$上に頂点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とは異なる点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{AB}=l$，$\mathrm{AP}=m$，$\angle \mathrm{PAB}=\alpha$，$\angle \mathrm{PAC}=\beta$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{AC}$を$l,\ m,\ \alpha,\ \beta$を用いて表しなさい．
(2)次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\[ S \geqq \frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)} \]
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\displaystyle S=\frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)}$のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{PG}}$の値を求めなさい．

$p,\ q$を自然数として，$p>q$とする．等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$\displaystyle S_p=\frac{p}{q}$，$\displaystyle S_q=\frac{q}{p}$が成り立つとする．次の問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の初項と公差を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)自然数$m$に対して，数列$\{a_n\}$の初項から第$2^m$項までの和の逆数を$b_m$とする．このとき，数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．
(3)$(2)$の数列$\{b_n\}$の初項が$36$であり，数列$\{a_n\}$の第$p+q$項が$\displaystyle \frac{17}{48}$であるとき，$p$と$q$を求めよ．

次の$(1),\ (2)$を証明せよ．

(1)$A>0,\ B \geqq 0$であるとき，$A>B$と$A^2>B^2$は同値である．
(2)$|a|<1$かつ$|b|<1$ならば，
\[ 1+ab \neq 0 \;\text{かつ}\; |\displaystyle\frac{a+b|{1+ab}}<1 \]