「不等号」について
タグ「不等号」の検索結果
（93ページ目：全4604問中921問～930問を表示）
国立 鹿児島大学 2015年 第2問次の各問いに答えよ．
(1)$0$でない実数$a,\ b,\ c,\ d$が$3^a=5^b=7^c={105}^d$を満たすとき，
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d} \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$f(x)=-3mx+2n$と関数$g(x)=6x^2-2nx-m$について
\[ S=\int_0^2 f(x) \, dx,\quad T=\int_0^2 g(x) \, dx \]
とおく．ただし，$m \geqq 0$，$n \geqq 0$とする．このとき，次の各問いに答えよ．
(i) $S$と$T$を$m$と$n$を用いて表せ．
(ii) $S \geqq 0$，$T \geqq 0$のとき，$m+n$が最大となるような$m$と$n$を求めよ．
(1)$0$でない実数$a,\ b,\ c,\ d$が$3^a=5^b=7^c={105}^d$を満たすとき，
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d} \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$f(x)=-3mx+2n$と関数$g(x)=6x^2-2nx-m$について
\[ S=\int_0^2 f(x) \, dx,\quad T=\int_0^2 g(x) \, dx \]
とおく．ただし，$m \geqq 0$，$n \geqq 0$とする．このとき，次の各問いに答えよ．
(i) $S$と$T$を$m$と$n$を用いて表せ．
(ii) $S \geqq 0$，$T \geqq 0$のとき，$m+n$が最大となるような$m$と$n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第5問整数$n (n \geqq 4)$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第3問関数$f(x)=-3mx+2n$と関数$g(x)=6x^2-2nx-m$について
\[ S=\int_0^2 f(x) \, dx,\quad T=\int_0^2 g(x) \, dx \]
とおく．ただし，$m \geqq 0$，$n \geqq 0$とする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)$S$と$T$を$m$と$n$を用いて表せ．
(2)$S \geqq 0$，$T \geqq 0$のとき，$m+n$が最大となるような$m$と$n$を求めよ．
\[ S=\int_0^2 f(x) \, dx,\quad T=\int_0^2 g(x) \, dx \]
とおく．ただし，$m \geqq 0$，$n \geqq 0$とする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)$S$と$T$を$m$と$n$を用いて表せ．
(2)$S \geqq 0$，$T \geqq 0$のとき，$m+n$が最大となるような$m$と$n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第4問関数$f(x)=xe^{-x}$について，次の各問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底であり，$x>0$とする．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xe^{-x}=0$を用いてよい．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=1$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xe^{-x}=0$を用いてよい．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=1$で囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第7問整数$n (n \geqq 4)$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第6問関数$f(x)=xe^{-x}$について，次の各問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底であり，$x>0$とする．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xe^{-x}=0$を用いてよい．
(2)$t>0$とするとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=t$で囲まれる部分の面積$g(t)$を求めよ．
(3)$t>0$とするとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および二つの直線$x=t$と$x=t+1$で囲まれる部分の面積$h(t)$が最大となるような$t$の値を求めよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xe^{-x}=0$を用いてよい．
(2)$t>0$とするとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=t$で囲まれる部分の面積$g(t)$を求めよ．
(3)$t>0$とするとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および二つの直線$x=t$と$x=t+1$で囲まれる部分の面積$h(t)$が最大となるような$t$の値を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第2問次の各問いに答えよ．
(1)$0$でない実数$a,\ b,\ c,\ d$が$3^a=5^b=7^c={105}^d$を満たすとき，
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d} \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$f(x)=-3mx+2n$と関数$g(x)=6x^2-2nx-m$について
\[ S=\int_0^2 f(x) \, dx,\quad T=\int_0^2 g(x) \, dx \]
とおく．ただし，$m \geqq 0$，$n \geqq 0$とする．このとき，次の各問いに答えよ．
(i) $S$と$T$を$m$と$n$を用いて表せ．
(ii) $S \geqq 0$，$T \geqq 0$のとき，$m+n$が最大となるような$m$と$n$を求めよ．
(1)$0$でない実数$a,\ b,\ c,\ d$が$3^a=5^b=7^c={105}^d$を満たすとき，
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d} \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$f(x)=-3mx+2n$と関数$g(x)=6x^2-2nx-m$について
\[ S=\int_0^2 f(x) \, dx,\quad T=\int_0^2 g(x) \, dx \]
とおく．ただし，$m \geqq 0$，$n \geqq 0$とする．このとき，次の各問いに答えよ．
(i) $S$と$T$を$m$と$n$を用いて表せ．
(ii) $S \geqq 0$，$T \geqq 0$のとき，$m+n$が最大となるような$m$と$n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第5問整数$n (n \geqq 4)$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
国立 奈良教育大学 2015年 第3問$a$を実数として，次の連立不等式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2-(a+2)x+2a \leqq 0 \\
ax^2-(a+1)x+1 \leqq 0 \phantom{\displaystyle\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \]
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2-(a+2)x+2a \leqq 0 \\
ax^2-(a+1)x+1 \leqq 0 \phantom{\displaystyle\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \]
国立 奈良教育大学 2015年 第4問$1$つの円が定直線に接しながらすべることなく回転するとき，円周上の定点$\mathrm{P}$のえがく軌跡をサイクロイドという．
（図は省略）
上の図を参考に，以下の設問に答えよ．
(1)円$\mathrm{C}$を半径$1$の円，定直線を$x$軸とし，円$\mathrm{C}$が$x$軸に原点$\mathrm{O}$で接するとき，定点$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$の位置にあったとする．円$\mathrm{C}$が角$\theta$だけ回転したとき，円$\mathrm{C}$の中心の座標を求めよ．
(2)円$\mathrm{C}$が角$\theta$だけ回転したときの点$\mathrm{P}$の位置を$(x,\ y)$とするとき，$x,\ y$をそれぞれ$\theta$を使って表せ．
(3)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$において，$(2)$で与えられる点$\mathrm{P}$の軌跡（サイクロイド）と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
（図は省略）
上の図を参考に，以下の設問に答えよ．
(1)円$\mathrm{C}$を半径$1$の円，定直線を$x$軸とし，円$\mathrm{C}$が$x$軸に原点$\mathrm{O}$で接するとき，定点$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$の位置にあったとする．円$\mathrm{C}$が角$\theta$だけ回転したとき，円$\mathrm{C}$の中心の座標を求めよ．
(2)円$\mathrm{C}$が角$\theta$だけ回転したときの点$\mathrm{P}$の位置を$(x,\ y)$とするとき，$x,\ y$をそれぞれ$\theta$を使って表せ．
(3)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$において，$(2)$で与えられる点$\mathrm{P}$の軌跡（サイクロイド）と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．