$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の大きさを$3$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを$4$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$\displaystyle \frac{2 \pi}{3}$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを求めよ．
(2)$\alpha$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$の範囲にあり，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{4}$をみたすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$4 \alpha$であるとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{E}(1,\ 0)$に対し，
\[ 4 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OB}}-12 \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立つとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．

$xy$平面において，点$\mathrm{P}(x,\ y)$と点$(2,\ 0)$の距離が，点$\mathrm{P}$と直線$x=1$の距離の$\sqrt{2}$倍と等しくなるような点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)$t$を$0$でない実数とし，曲線$C$と直線$x+y=t$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．$t$が$2 \leqq t \leqq 4$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QH}$が通過してできる図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$x>0$のとき，不等式$1+x<e^x$を示せ．
(2)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} ne^{-n^2}$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{-n}^n (2x^2-1)e^{-x^2} \, dx$を求めよ．

$a,\ b,\ c$を実数とし，関数$f(x)=ax^2+bx+c$を考える．
\[ I=\int_0^1 {\{f^\prime(x)\}}^2 \, dx \]
とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$I$を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$\theta$を$0 \leqq \theta<\pi$をみたす実数とする．$a=\cos \theta$，$b=\sin \theta$のとき，$I$を$\cos 2\theta$と$\sin 2\theta$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた$I$の最大値，最小値を求めよ．

$a,\ b$を正の実数とする．$f(x)=x(x+a)(x-b)$とする．区間$-a \leqq x \leqq 0$において曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，区間$0 \leqq x \leqq b$において曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)$S_1$を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$S_1=S_2$のとき，$a=b$となることを示せ．
(3)$S_1=S_2$のとき，$f(x)$は奇関数となることを示せ．また，$f(x)$が奇関数のとき，$S_1=S_2$となることを示せ．ただし，$f(x)$が奇関数であるとは，どのような$x$の値に対しても等式$f(-x)=-f(x)$が成り立つことである．

$a,\ b$を実数とする．$f(x)=x^2-6x+a$，$g(x)=-x^2+9x+b$とする．次の問いに答えよ．

(1)さいころを$1$個投げて出た目を$k$とするとき$f(k) \leqq 0$となる確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$である$a$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)さいころを$1$個投げて出た目を$k$とするとき$f(k) \leqq 0$かつ$g(k) \geqq 0$となる確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$である$a,\ b$のとり得る値の範囲を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．$f(x)=x^2+ax+b$，$g(x)=x^2+bx+a$とする．$2$次方程式$f(x)=0$が実数解をもつとする．その実数解の$1$つが$2$次方程式$g(x)=0$の$1$つの解の逆数であるとする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=0$の解と$g(x)=0$の解をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とする．直線$y=x-1$と放物線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を$S_1$とし，直線$y=x-1$と放物線$y=g(x)$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=27:8$となるとき，$a$の値を求めよ．

自然対数の底を$e$とする．区間$x \geqq 0$上で定義される関数
\[ f(x)=e^{-x} \sin x \]
を考え，曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に並べる．それらを，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$とする．点$\mathrm{P}_0$は原点である．

自然数$n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$と$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を求めよ．
(2)面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle I_n=\sum_{k=1}^n S_k$とする．このとき，$I_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$を求めよ．

区間$0 \leqq x \leqq \pi$上で定義される関数
\[ f(x)=\cos 2x-4 \sin^3 x \]
について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$の解を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

実数$x \neq 1$について定義される関数
\[ f(x)=\frac{1+x}{1-x} \]
を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to 1-0} f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to 1+0} f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$を求めよ．
(3)$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．曲線$y=f(x)$上の格子点の座標をすべて求めよ．
(4)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(5)$x \leqq 0$かつ$y \geqq 0$で表される領域において，$x$軸と$y$軸および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．