$k$を定数とする．関数$f(x)=x^2-kx+3k-5$について，次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$が，異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が，ともに$2$以下となる異なる$2$つの解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$1 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最小値を$m(k)$とする．このとき，$0 \leqq k \leqq 10$における$m(k)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．

関数$f(x)=x^3-5x^2+6x+1$について，次の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 0$のとき，不等式$f(x)>0$が成り立つことを証明せよ．
(2)$a$を$0$以上の定数とし，曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$，$x=a+1$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$a$を変化させたとき，$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

$n$を自然数とし，放物線$y=-x^2+nx$を$C$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)放物線$C$上の点$(1,\ n-1)$における接線の傾きを$a$とする．$0 \leqq a \leqq 3$を満たす$n$をすべて求めよ．
(2)関数$y=-x^2+nx$の最大値を$M$とする．$1 \leqq M \leqq 5$を満たす$n$をすべて求めよ．
(3)放物線$C$と直線$y=-x$で囲まれた図形の面積を$S$とする．$S \leqq 36$を満たす$n$をすべて求めよ．
(4)$n \geqq 7$とする．放物線$C$の$x \geqq 6$の部分と$x$軸および直線$x=6$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$T \leqq 72$を満たす$n$をすべて求めよ．

$n$を自然数とし，$t>0$とする．曲線$y=x^ne^{-nx}$と$x$軸および$2$直線$x=t$，$x=2t$で囲まれた図形の面積を$S_n(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ．
(2)$S_1(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_1(t) (t>0)$の最大値を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ．
(5)関数$S_n(t) (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ．

$n$を自然数とし，放物線$y=-x^2+nx$を$C$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)放物線$C$上の点$(1,\ n-1)$における接線の傾きを$a$とする．$0 \leqq a \leqq 3$を満たす$n$をすべて求めよ．
(2)関数$y=-x^2+nx$の最大値を$M$とする．$1 \leqq M \leqq 5$を満たす$n$をすべて求めよ．
(3)放物線$C$と直線$y=-x$で囲まれた図形の面積を$S$とする．$S \leqq 36$を満たす$n$をすべて求めよ．
(4)$n \geqq 7$とする．放物線$C$の$x \geqq 6$の部分と$x$軸および直線$x=6$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$T \leqq 72$を満たす$n$をすべて求めよ．

$n$を自然数とし，$t>0$とする．曲線$y=x^ne^{-nx}$と$x$軸および$2$直線$x=t$，$x=2t$で囲まれた図形の面積を$S_n(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ．
(2)$S_1(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_1(t) (t>0)$の最大値を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ．
(5)関数$S_n(t) (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log (1-x)}{x}$は$0<x<1$の範囲で減少することを示せ．
(2)極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\tan \left( \displaystyle\frac{(n+k) \pi}{6n} \right)} \]
を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする．$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と，そのときの$f(x)$の値を求めよ．
(2)$a>0$とする．曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$，$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える．$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする．

\mon[（ア）] $C$と$\ell_1$の交点，および，$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ．
\mon[（イ）] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ．ただし，$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい．
\mon[（ウ）] $D$の面積を$a$を用いて表せ．
\mon[（エ）] $D$の面積を最小にする$a$の値と，そのときの$D$の面積を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，頂点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．また，四面体$\mathrm{OABC}$は
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=1,\quad \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
を満たすものとし，$\angle \mathrm{AOC}=\theta \left( 0<\theta<\displaystyle\frac{2}{3} \pi \right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$を満たす$s,\ t,\ u$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OH|}}$を求めよ．
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2}{3}\pi$のとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ．

$a,\ b$を正の定数とし，$xy$平面上の双曲線
\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \]
を$H$とする．正の実数$r,\ s$に対して，円$C:(x-s)^2+y^2=r^2$を考える．

(1)$C$の中心が$H$の焦点の一つであるとき，すなわち$s=\sqrt{a^2+b^2}$のとき，$C$と$H$は$x>0$において高々$2$点しか共有点を持たないことを示せ．
(2)$C$と$H$が$x>0$において$4$点の共有点を持つような$(r,\ s)$の範囲を，$rs$平面上に図示せよ．
(3)$C$と$H$が$x>0$において$2$点で接するような$(r,\ s)$を考えるとき，極限$\displaystyle \lim_{r \to \infty} \frac{s}{r}$を求めよ．