$xy$平面上の曲線$C_1:y=x^2$を考える．$C_1$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$をとり，点$\mathrm{A}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{B}$における$C_1$の接線の交点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$a<b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$が，$xy$平面上の曲線$C_2:y=x^2-x (0<x<1)$上にあるとする．このとき，$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$の$x$座標を$s$とおき，$(2)$で求めた内積を$s$で表せ．
(4)内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を最大にする$C_2$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
$*$ \ $(2)$～$(4)$については，必答範囲外からの出題のため，技術・情報科学の受験者全員に対し，正解とする．

$F(x),\ f(x),\ g(x)$は関数である．次の問いに答えよ．

(1)$0<a \leqq \pi$とし，$\displaystyle F(x)=\int_a^x \cos (t-a) g(\sin (t-a)) \, dt-f(x)$とする．

(i) $f(x)$は$\displaystyle (1-x) \int_0^x f(t) \, dt=x \int_x^1 f(t) \, dt$と$f(1)=1$を満たすとする．$f(x)$を求めよ．
(ii) $f(x)$は$(ⅰ)$で求めた関数である．$g(x)$は，$x<y$ならば$g(x)>g(y)$を満たし，$\displaystyle g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)=0$であるとする．このとき，開区間$(a,\ 2a)$で$F(x)$が極大値をただ$1$つもつように，$a$の値の範囲を定めよ．

(2)$a \geqq 0$とし，$\displaystyle F(x)=\int_a^{x+a} \cos (t-a) g(\sin (t-a)) \, dt-f(x)$とする．$f(x)>0$，$f^\prime(x)>0$であり，$g(x)=xf(x)$であるとする．$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$F(x) \leqq 0$となることを示せ．

連立不等式$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$3x+y \leqq 8$，$x+3y \leqq 9$が表す領域を$A$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$3x+y=8$と直線$x+3y=9$の交点の座標を求めよ．また，領域$A$を図示し，その面積を求めよ．
(2)領域$A$において，$\displaystyle \frac{3}{4}x+y$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)不等式$\displaystyle y \geqq \frac{8}{3}x^2$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$B$とする．領域$B$の面積を求めよ．
(4)不等式$y \leqq ax$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$C$とする．領域$C$の面積が領域$B$の面積と等しくなる実数$a$の値を求めよ．

$f(x)=|1+2 \sin 2x|$とする．次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(3)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx$を求めよ．

(4)$\displaystyle \int_{\frac{11}{12}\pi}^x f(t) \, dt=3\pi+18 \sqrt{3}$となる$x$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ 4,\ 11,\ 24,\ 43,\ 68,\ 99,\ \cdots \]
(2)次の方程式を解け．

(i) $\log_2 x=\log_4 5$
(ii) $\log_2 x^2=5$

(3)$f(x)=x^3+3x^2-45x+41$とする．$-8 \leqq x \leqq 8$における関数$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

連立不等式$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$3x+y \leqq 8$，$x+3y \leqq 9$が表す領域を$A$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$3x+y=8$と直線$x+3y=9$の交点の座標を求めよ．また，領域$A$を図示し，その面積を求めよ．
(2)領域$A$において，$\displaystyle \frac{3}{4}x+y$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)不等式$\displaystyle y \geqq \frac{8}{3}x^2$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$B$とする．領域$B$の面積を求めよ．
(4)不等式$y \leqq ax$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$C$とする．領域$C$の面積が領域$B$の面積と等しくなる実数$a$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ 4,\ 11,\ 24,\ 43,\ 68,\ 99,\ \cdots \]
(2)次の方程式を解け．

(i) $\log_2 x=\log_4 5$
(ii) $\log_2 x^2=5$

(3)$f(x)=x^3+3x^2-45x+41$とする．$-8 \leqq x \leqq 8$における関数$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

$f(x)=|1+2 \sin 2x|$とする．次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(3)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx$を求めよ．

(4)$\displaystyle \int_{\frac{11}{12}\pi}^x f(t) \, dt=3\pi+18 \sqrt{3}$となる$x$の値を求めよ．

$1$個のさいころを$4$回続けて投げ，出た目を$1$回目から順に$a,\ b,\ c,\ d$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，さいころは$1$回投げると$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$の目がそれぞれ等しい確率で出るものとする．

(1)$a<b<c<d$となる確率を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d$のうち，異なるものが$3$種類以下となる確率を求めよ．
(3)$a,\ b,\ c,\ d$のうち，異なるものが$2$種類となる確率を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{R}$，辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．ただし，$0<s<1$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$s$で表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{RS}$が交わるときの$s$の値を求めよ．