関数$f(x)=ax^2+bx+c$を用いて，関数$g(x)$が
\[ g(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
-ax^2+1 & \displaystyle\left( x<\frac{\sqrt{a}}{a} \right) \\
f(x) & \displaystyle\left( x \geqq \frac{\sqrt{a}}{a} \right) \phantom{\frac{[　]^{\mkakko{}}}{2}}
\end{array} \right. \]
で定義されている．ただし，$a,\ b,\ c$は定数で，$a>0$とする．次の各問に答えなさい．

(1)関数$f(x)$の導関数を求めなさい．
(2)曲線$C_1:y=f(x)$は点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{a}}{a},\ 0 \right)$を通り，この点における曲線$C_1$の接線の傾きは$-2 \sqrt{a}$であるとする．

(i) $b$を$a$の式で表しなさい．また，$c$の値を求めなさい．
(ii) 関数$g(x)$が$x=4$で極小になるように，$a$の値を定めなさい．

(3)曲線$C_2:y=g(x)$は$2$点$(2,\ -1)$，$(3,\ 0)$を通る．また，曲線$C_2$と直線$L:y=tx$で囲まれる部分の面積を$t$の関数として$S(t)$で表す．ただし，$a=1$，$0 \leqq t \leqq 2$とする．このとき，$S(t)$の導関数の値は正である．

(i) $b,\ c$の値をそれぞれ求めなさい．
(ii) $S(t)$の最小値を求めなさい．
(iii) $S(t)$が最大値をとるとき，曲線$C_2$と直線$L$のすべての交点の座標を求めなさい．また，$S(t)$の最大値を求めなさい．

放物線$y=ax^2+bx+c (a>0)$を$C$とし，直線$y=2x-1$を$\ell$とする．

(1)放物線$C$が点$(1,\ 1)$で直線$\ell$と接し，かつ$x$軸と共有点をもつための$a,\ b,\ c$が満たす必要十分条件を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{8}{9}$のとき，$(1)$の条件のもとで，放物線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分のうち，第$1$象限にある部分の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．

次の条件$(*)$を満たすような実数$a$で最大のものを求めよ．

\mon[$(*)$] $\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲のすべての$x$に対して$\cos x \leqq 1-ax^2$が成り立つ．

放物線$y=ax^2+bx+c (a>0)$を$C$とし，直線$y=2x-1$を$\ell$とする．

(1)放物線$C$が点$(1,\ 1)$で直線$\ell$と接し，かつ$x$軸と共有点をもつための$a,\ b,\ c$が満たす必要十分条件を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{8}{9}$のとき，$(1)$の条件のもとで，放物線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分のうち，第$1$象限にある部分の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．

次の条件$(*)$を満たすような実数$a$で最大のものを求めよ．

\mon[$(*)$] $\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲のすべての$x$に対して$\cos x \leqq 1-ax^2$が成り立つ．

関数
\[ y=(\cos x-\sin x+1) \sin 2x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
を考える．次の問いに答えよ．

(1)$t=\cos x-\sin x$とおくとき，$t$がとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$y$を$t$を用いて表せ．
(3)$y$の最大値・最小値と，そのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．

$1$辺の長さが$4$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をそれぞれ辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上の点とし，$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ b$（ただし，$0<a<4$，$0<b<4$）とする．

(1)$\cos \angle \mathrm{QPR}$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$b=2$とし，点$\mathrm{P}$は$\angle \mathrm{QPR}$の大きさを最大にする点とする．このとき，$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，$b<a$とする．焦点が$(0,\ a)$，準線が$y=b$である放物線を$P$で表すことにする．すなわち，$P$は点$(0,\ a)$からの距離と直線$y=b$からの距離が等しい点の軌跡である．

(1)放物線$P$の方程式を求めよ．
(2)焦点$(0,\ a)$を中心とする半径$a-b$の円を$C$とする．このとき，円$C$と放物線$P$の交点を求めよ．
(3)円$C$と放物線$P$で囲まれた図形のうち，放物線$P$の上側にある部分の面積を求めよ．