「不等号」について
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国立 香川大学 2015年 第3問$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}a, -a \right)$を頂点とし，点$(a,\ 0)$を通る放物線である．ただし，$a \neq 0$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$2$次関数$y=f(x)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とするとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を，積分を計算することによって求めよ．
(3)$S(2^n)>7^{10}$となる最小の自然数$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$を用いてもよい．
(1)$2$次関数$y=f(x)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とするとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を，積分を計算することによって求めよ．
(3)$S(2^n)>7^{10}$となる最小の自然数$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$を用いてもよい．
国立 香川大学 2015年 第3問数列$\{a_n\}$は，
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{2a_n+2}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて$\sqrt{2}<a_n$を示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$a_{n+1}<a_n$を示せ．
(3)$n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて
\[ a_n-\sqrt{2} \leqq \frac{(2-\sqrt{2})^n}{3^{n-1}} \]
を示せ．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{2a_n+2}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて$\sqrt{2}<a_n$を示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$a_{n+1}<a_n$を示せ．
(3)$n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて
\[ a_n-\sqrt{2} \leqq \frac{(2-\sqrt{2})^n}{3^{n-1}} \]
を示せ．
国立 琉球大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$3$次方程式$x^3-ax-6=0$が$x=-1$を解にもつとき，定数$a$の値と他の解を求めよ．
(2)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{6}+\log_2 \frac{3}{4}$の値を求めよ．
(3)平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ \sqrt{3})$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．$0 \leqq \theta <2\pi$のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)$3$次方程式$x^3-ax-6=0$が$x=-1$を解にもつとき，定数$a$の値と他の解を求めよ．
(2)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{6}+\log_2 \frac{3}{4}$の値を求めよ．
(3)平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ \sqrt{3})$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．$0 \leqq \theta <2\pi$のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 琉球大学 2015年 第2問頂点が点$\mathrm{A}(0,\ 4)$で，点$\mathrm{B}(2,\ 0)$を通る放物線を考える．次の問いに答えよ．
(1)この放物線をグラフとする$2$次関数を求めよ．
(2)この放物線上にあり，$x$座標が$2a (a>0)$である点を$\mathrm{C}$とする．この放物線と$x$軸との交点で，点$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{C}$における放物線の接線$\ell_1$と点$\mathrm{D}$における放物線の接線$\ell_2$との交点$\mathrm{E}$の座標を，$a$を使って表せ．
(3)この放物線と直線$\ell_2$，および点$\mathrm{E}$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)この放物線をグラフとする$2$次関数を求めよ．
(2)この放物線上にあり，$x$座標が$2a (a>0)$である点を$\mathrm{C}$とする．この放物線と$x$軸との交点で，点$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{C}$における放物線の接線$\ell_1$と点$\mathrm{D}$における放物線の接線$\ell_2$との交点$\mathrm{E}$の座標を，$a$を使って表せ．
(3)この放物線と直線$\ell_2$，および点$\mathrm{E}$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 琉球大学 2015年 第2問関数$f(x)=|x| \sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，最大値，最小値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \, dx$を求めよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，最大値，最小値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \, dx$を求めよ．
国立 琉球大学 2015年 第3問確率$p (0<p<1)$で「当たり」が出るくじを繰り返して引く．$2$回目の「当たり」が出たときにこの試行を終える．$n \geqq 2$として，$n$回目でこの試行を終える確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$p_2,\ p_3,\ p_4$を求めよ．
(2)$p_n$を求めよ．
(3)$N \geqq 2$として，$\displaystyle \sum_{k=2}^N p_k$を求めよ．
(1)$p_2,\ p_3,\ p_4$を求めよ．
(2)$p_n$を求めよ．
(3)$N \geqq 2$として，$\displaystyle \sum_{k=2}^N p_k$を求めよ．
国立 香川大学 2015年 第4問$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}a, -a \right)$を頂点とし，点$(a,\ 0)$を通る放物線である．ただし，$a \neq 0$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$2$次関数$y=f(x)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とするとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を，積分を計算することによって求めよ．
(3)$S(2^n)>7^{10}$となる最小の自然数$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$を用いてもよい．
(1)$2$次関数$y=f(x)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とするとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を，積分を計算することによって求めよ．
(3)$S(2^n)>7^{10}$となる最小の自然数$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$を用いてもよい．
国立 香川大学 2015年 第5問放物線$y=ax^2 (a>0)$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる容器$\mathrm{A}$と，容積$V$のコップ$\mathrm{B}$がある．このとき，次の問に答えよ．
(1)空の容器$\mathrm{A}$にコップ$\mathrm{B}$ \ $1$杯分の水を注いだら，水深が$1$となった．このとき，$a$を$V$を用いて表せ．ただし，回転軸は水面と垂直であるとする．
(2)あとコップ$\mathrm{B}$何杯分の水を容器$\mathrm{A}$に注いだら，水深が$2$となるか．
(1)空の容器$\mathrm{A}$にコップ$\mathrm{B}$ \ $1$杯分の水を注いだら，水深が$1$となった．このとき，$a$を$V$を用いて表せ．ただし，回転軸は水面と垂直であるとする．
(2)あとコップ$\mathrm{B}$何杯分の水を容器$\mathrm{A}$に注いだら，水深が$2$となるか．
国立 香川大学 2015年 第4問$b$を$b>2 \sqrt{2}$を満たす実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$f(x)=x+(e^x-b)e^x$とするとき，方程式$f(x)-a=0$が異なる$3$個の実数解をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)実数$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとする．このとき，点$(a,\ b)$を中心とする円で，曲線$y=e^x$と異なる$4$点で交わるものが存在することを示せ．
(1)$f(x)=x+(e^x-b)e^x$とするとき，方程式$f(x)-a=0$が異なる$3$個の実数解をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)実数$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとする．このとき，点$(a,\ b)$を中心とする円で，曲線$y=e^x$と異なる$4$点で交わるものが存在することを示せ．
国立 香川大学 2015年 第4問$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}a, -a \right)$を頂点とし，点$(a,\ 0)$を通る放物線である．ただし，$a \neq 0$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$2$次関数$y=f(x)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とするとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を，積分を計算することによって求めよ．
(3)$S(2^n)>7^{10}$となる最小の自然数$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$を用いてもよい．
(1)$2$次関数$y=f(x)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とするとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を，積分を計算することによって求めよ．
(3)$S(2^n)>7^{10}$となる最小の自然数$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$を用いてもよい．