平面上で原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 2)$，$\mathrm{C}(-1,\ 1)$を考える．実数$s,\ t$に対し，点$\mathrm{P}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
により定める．以下の問いに答えよ．

(1)$s,\ t$が条件
\[ -1 \leqq s \leqq 1,\quad -1 \leqq t \leqq 1,\quad -1 \leqq s+t \leqq 1 \]
を満たすとき，点$\mathrm{P}(x,\ y)$の存在する範囲$D$を図示せよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$(1)$で求めた範囲$D$を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の最大値を求め，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$6$以上の整数$n$に対して不等式
\[ 2^n>n^2+7 \]
が成り立つことを数学的帰納法により示せ．
(2)等式
\[ p^q=q^p+7 \]
を満たす素数の組$(p,\ q)$をすべて求めよ．

多項式$P(x)$を
\[ P(x)=\frac{(x+i)^7-(x-i)^7}{2i} \]
により定める．ただし，$i$は虚数単位とする．以下の問いに答えよ．

(1)$P(x)=a_0x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7$とするとき，係数$a_0,\ \cdots,\ a_7$をすべて求めよ．
(2)$0<\theta<\pi$に対して，
\[ P \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)=\frac{\sin 7\theta}{\sin^7 \theta} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$(1)$で求めた$a_1,\ a_3,\ a_5,\ a_7$を用いて，多項式$Q(x)=a_1x^3+a_3x^2+a_5x+a_7$を考える．$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{7}$として，$k=1,\ 2,\ 3$について
\[ x_k=\frac{\cos^2 k\theta}{\sin^2 k\theta} \]
とおく．このとき，$Q(x_k)=0$が成り立つことを示し，$x_1+x_2+x_3$の値を求めよ．

関数
\[ f(x)=\int_0^\pi |\sin (t-x)-\sin 2t| \, dt \]
の区間$0 \leqq x \leqq \pi$における最大値と最小値を求めよ．

$\alpha,\ \beta,\ a,\ b,\ c,\ d$を実数とする．以下の問に答えよ．

(1)「すべての実数$x$について$x^2+\alpha x+\beta>0$である」が成り立つための$\alpha,\ \beta$に関する条件を求めよ．
(2)「すべての実数$y$について$ay+b<0$である」が成り立つための$a,\ b$に関する条件を求めよ．
(3)「すべての実数$x,\ y$について$x^2+4xy+4y^2+5x+cy+d>0$である」が成り立つための$c,\ d$に関する条件を求めよ．

$\alpha,\ \beta,\ a,\ b,\ c,\ d$を実数とする．以下の問に答えよ．

(1)「すべての実数$x$について$x^2+\alpha x+\beta>0$である」が成り立つための$\alpha,\ \beta$に関する条件を求めよ．
(2)「すべての実数$y$について$ay+b<0$である」が成り立つための$a,\ b$に関する条件を求めよ．
(3)「すべての実数$x,\ y$について$x^2+4xy+4y^2+5x+cy+d>0$である」が成り立つための$c,\ d$に関する条件を求めよ．

次のように媒介変数表示された$xy$平面上の曲線を$C$とする：
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=3 \cos t-\cos 3t \phantom{\frac{8}{8}} \\
y=3 \sin t-\sin3 t \phantom{\frac{[　]}{8}}
\end{array} \right. \]
ただし$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$である．

(1)$\displaystyle \frac{dx}{dt}$および$\displaystyle \frac{dy}{dt}$を計算し，$C$の概形を図示せよ．
(2)$C$と$x$軸と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

当たりくじ$k$本を含む$n$本のくじがある．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がこの順番で$1$本ずつくじを引く．ただし，$k+3 \leqq n$であり，引いたくじはもとに戻さないものとする．以下の問に答えよ．

(1)$k=1$のとき，$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ．
(2)$k=2$のとき，$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ．
(3)$k \geqq 3$のとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がともに当たりくじを引く確率を求めよ．
(4)$k \geqq 3$のとき，$\mathrm{A}$がはずれくじを引き，かつ$\mathrm{B}$が当たりくじを引く確率を求めよ．
(5)$k \geqq 3$のとき，$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ．

当たりくじ$k$本を含む$n$本のくじがある．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がこの順番で$1$本ずつくじを引く．ただし，$k+3 \leqq n$であり，引いたくじはもとに戻さないものとする．以下の問に答えよ．

(1)$k=1$のとき，$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ．
(2)$k=2$のとき，$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ．
(3)$k \geqq 3$のとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がともに当たりくじを引く確率を求めよ．
(4)$k \geqq 3$のとき，$\mathrm{A}$がはずれくじを引き，かつ$\mathrm{B}$が当たりくじを引く確率を求めよ．
(5)$k \geqq 3$のとき，$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ．

$n$を正の整数とする．$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k \cdot 2^k}$とおく．以下の問に答えよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．

(1)$\displaystyle 1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}=\frac{1}{1-x}-\frac{x^n}{1-x}$を数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，$x \neq 1$とする．

(2)$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} (1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}) \, dx=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ．

(3)$\displaystyle S_n=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ．

(4)$\displaystyle 0 \leqq \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx \leqq \frac{1}{2^n} \log 2$を示せ．

(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 2^2}+\frac{1}{3 \cdot 2^3}+\cdots$の値を求めよ．