$\kagiichi$ \ 条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$の否定をそれぞれ$\overline{p_1},\ \overline{p_2},\ \overline{q_1},\ \overline{q_2}$と書く．

(1)次の$[ア]$に当てはまるものを，下の$\nagamarurei$～$\nagamarusan$のうちから一つ選べ．

命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$q_1$かつ$q_2$）」の対偶は$[ア]$である．

$\nagamarurei$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$）
$\nagamaruichi$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$）
$\nagamaruni$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$）
$\nagamarusan$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$）
(2)自然数$n$に対する条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次のように定める．
\[\begin{array}{ll}
p_1:n \text{は素数である} & p_2:n+2 \text{は素数である} \\
q_1:n+1 \text{は} 5 \text{の倍数である} & q_2:n+1 \text{は}6 \text{の倍数である}
\end{array} \]
$30$以下の自然数$n$のなかで$[イ]$と$[ウエ]$は
命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$q_2$）」
の反例となる．
\mon[$\kagini$] $\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\angle \mathrm{ABC}={120}^\circ$とする．

このとき，$\mathrm{AC}=[オ]$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$であり，
$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コサ]}$である．

直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を，$\mathrm{AD}=3 \sqrt{3}$かつ$\angle \mathrm{ADC}$が鋭角，となるようにとる．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BD}$上の点とし，$\triangle \mathrm{APC}$の外接円の半径を$R$とすると，$R$のとり得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]} \leqq R \leqq [セ]$である．

以下の命題$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれに対し，その真偽を述べよ．また，真ならば証明を与え，偽ならば反例を与えよ．

命題$\mathrm{A}$ \quad $n$が正の整数ならば，$\displaystyle \frac{n^3}{26}+100 \geqq n^2$が成り立つ．
命題$\mathrm{B}$ \quad 整数$n,\ m,\ \ell$が$5n+5m+3 \ell=1$をみたすならば，$10nm+3m \ell+3n \ell<0$が成り立つ．

$a$を正の実数とし，$p$を正の有理数とする．座標平面上の$2$つの曲線$y=ax^p (x>0)$と$y=\log x (x>0)$を考える．この$2$つの曲線の共有点が$1$点のみであるとし，その共有点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えよ．必要であれば，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^p}{\log x}=\infty$を証明なしに用いてよい．

(1)$a$および点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$p$を用いて表せ．
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれる図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$p$を用いて表せ．
(3)$(2)$で得られる立体の体積が$2 \pi$になるときの$p$の値を求めよ．

$\ell$を座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする．さらに，以下の$3$条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$で定まる円$C_1$，$C_2$を考える．

(i) 円$C_1$，$C_2$は$2$つの不等式$x \geqq 0$，$y \geqq 0$で定まる領域に含まれる．
(ii) 円$C_1$，$C_2$は直線$\ell$と同一点で接する．
(iii) 円$C_1$は$x$軸と点$(1,\ 0)$で接し，円$C_2$は$y$軸と接する．

円$C_1$の半径を$r_1$，円$C_2$の半径を$r_2$とする．$8r_1+9r_2$が最小となるような直線$\ell$の方程式と，その最小値を求めよ．
（図は省略）

$2$つの関数$\displaystyle y=\sin \left( x+\frac{\pi}{8} \right)$と$y=\sin 2x$のグラフの$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分で囲まれる領域を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

自然数$n$に対して関数$f_n(x)$を
\[ f_n(x)=\frac{x}{n(1+x)} \log \left( 1+\frac{x}{n} \right) \quad (x \geqq 0) \]
で定める．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^n f_n(x) \, dx \leqq \int_0^1 \log (1+x) \, dx$を示せ．
(2)数列$\{I_n\}$を
\[ I_n=\int_0^n f_n(x) \, dx \]
で定める．$0 \leqq x \leqq 1$のとき$\log (1+x) \leqq \log 2$であることを用いて数列$\{I_n\}$が収束することを示し，その極限値を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$であることは用いてよい．

実数$x,\ y$が$|x| \leqq 1$と$|y| \leqq 1$を満たすとき，不等式
\[ 0 \leqq x^2+y^2-2x^2y^2+2xy \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2} \leqq 1 \]
が成り立つことを示せ．

座標空間の$x$軸上に動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は時刻$0$において，原点を出発する．$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向に，$\mathrm{Q}$は$x$軸の負の方向に，ともに速さ$1$で動く．その後，ともに時刻$1$で停止する．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を中心とする半径$1$の球をそれぞれ$A,\ B$とし，空間で$x \geqq -1$の部分を$C$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)時刻$t (0 \leqq t \leqq 1)$における立体$(A \cup B) \cap C$の体積$V(t)$を求めよ．
(2)$V(t)$の最大値を求めよ．

実数$x,\ y$が$|x| \leqq 1$と$|y| \leqq 1$を満たすとき，不等式
\[ 0 \leqq x^2+y^2-2x^2y^2+2xy \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2} \leqq 1 \]
が成り立つことを示せ．

直線$\ell:y=kx+m (k>0)$が円$C_1:x^2+(y-1)^2=1$と放物線$\displaystyle C_2:y=-\frac{1}{2}x^2$の両方に接している．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$k$と$m$を求めよ．
(2)直線$\ell$と放物線$C_2$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．