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新潟大学 国立 新潟大学 2016年 第2問
$\triangle \mathrm{OAB}$において,$\mathrm{OA}=5$,$\mathrm{OB}=6$,$\mathrm{AB}=7$とする.$t$を$0<t<1$を満たす実数とする.辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{OB}$を$1:t$に外分する点を$\mathrm{Q}$,辺$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする.点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{OB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{RS}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$t,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(4)線分$\mathrm{OS}$の長さが$4$となる$t$の値を求めよ.
新潟大学 国立 新潟大学 2016年 第2問
$\triangle \mathrm{OAB}$において,$\mathrm{OA}=5$,$\mathrm{OB}=6$,$\mathrm{AB}=7$とする.$t$を$0<t<1$を満たす実数とする.辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{OB}$を$1:t$に外分する点を$\mathrm{Q}$,辺$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする.点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{OB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{RS}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$t,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(4)線分$\mathrm{OS}$の長さが$4$となる$t$の値を求めよ.
埼玉大学 国立 埼玉大学 2016年 第4問
四面体$\mathrm{OABC}$において,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし,頂点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする.また,四面体$\mathrm{OABC}$は
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=1,\quad \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
を満たすものとし,$\angle \mathrm{AOC}=\theta \left( 0<\theta<\displaystyle\frac{2}{3} \pi \right)$とする.次の問いに答えよ.

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$を満たす$s,\ t,\ u$を求めよ.
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OH|}}$を求めよ.
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2}{3}\pi$のとき,四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ.
新潟大学 国立 新潟大学 2016年 第4問
$a$を$0<a<1$を満たす実数として$x$の関数$f(x)=ax-\log (1+e^x)$の最大値を$M(a)$とするとき,次の問いに答えよ.ただし必要があれば
\[ \lim_{x \to +0} x \log x=0 \]
が成り立つことを用いてよい.

(1)$M(a)$を$a$を用いて表せ.
(2)$a$の関数$y=M(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ.
(3)$a$の関数$y=M(a)$のグラフをかけ.
三重大学 国立 三重大学 2016年 第2問
$0 \leqq x \leqq 2$とする.

(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ.
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し,
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ.
三重大学 国立 三重大学 2016年 第2問
$0 \leqq x \leqq 2$とする.

(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ.
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し,
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ.
三重大学 国立 三重大学 2016年 第4問
以下の問いに答えよ.

(1)$\displaystyle y=xe^{-\frac{1}{2}x^2} (-2 \leqq x \leqq 2)$の増減および極値を調べ,このグラフの概形をかけ.

(2)$\displaystyle \int_0^1 xe^{-\frac{1}{2}x^2} \, dx$を求めよ.
三重大学 国立 三重大学 2016年 第2問
$0 \leqq x \leqq 2$とする.

(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ.
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し,
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ.
三重大学 国立 三重大学 2016年 第4問
$\log x$は$x$の自然対数とする.

(1)$2$と$\log 4$の大小関係を,理由をつけて述べよ.必要ならば$e=2.718 \cdots$を用いてよい.さらに$x>0$のとき$\sqrt{x}>\log x$を示せ.
(2)$x>1$のとき,$\displaystyle y=\frac{x}{\log x}$の増減,極値およびグラフの凹凸を調べ,このグラフの概形をかけ.
(3)$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{\log x}} (e \leqq x \leqq e^2)$と$\displaystyle y=\frac{1}{\log x} (e \leqq x \leqq e^2)$,および$x=e^2$で囲まれた図形を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
三重大学 国立 三重大学 2016年 第2問
$0 \leqq x \leqq 2$とする.

(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x>0$を満たす$x$の範囲を求めよ.
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し,
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ.
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「不等号」とは・・・

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