楕円$\displaystyle O:\frac{x^2}{3}+y^2=1$，直線$\ell:y=x-\alpha (\alpha>0)$，直線$m_t:y=-x+t$がある．楕円$O$と直線$\ell$が接しているとき，次の問いに答えよ．

(1)$\alpha$の値を求めよ．また，楕円$O$と直線$m_t$が$2$個の共有点をもつように，$t$の値の範囲を定めよ．
(2)直線$\ell$と直線$m_t$の交点を点$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{A}(0,\ -2)$と点$\mathrm{H}$との距離$s$を$t$を用いて表せ．また，楕円$O$と直線$m_t$が$2$個の共有点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもつとき，$(\mathrm{PH})^2-(\mathrm{QH})^2$を$t$を用いて表せ．ただし，$\mathrm{PH}>\mathrm{QH}$とする．
(3)楕円$O$を直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

$n$は自然数とする．$1$以上の実数$a,\ d$と正の実数$b,\ c$を成分とする行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
に対し，$n$個の積$A^n$を
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right),\quad A^1=A \]
とおく．また，$0<v \leqq u$をみたす実数$u,\ v$と正の実数$\lambda$に対して，$A$は等式
\[ A \left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right)=\lambda \left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right) \]
をみたすとする．以下の問いに答えよ．

(1)不等式
\[ \left( 1+\frac{v}{u} \right) \lambda^n \leqq a_n+b_n+c_n+d_n \leqq \left( 1+\frac{u}{v} \right) \lambda^n \]
を示せ．
(2)$M$を$\displaystyle 1+\frac{1}{b}$と$\displaystyle 1+\frac{1}{c}$の大きい方（$b=c$の場合はどちらでも良い）とするとき，不等式
\[ a_n+b_n+c_n+d_n<M(a_{n+1}+d_{n+1}) \]
を示せ．
(3)数列
\[ \left\{ \frac{1}{n} \log (a_n+d_n) \right\} \]
の極限値を求めよ．

$a>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq a$をみたす$x$に対して
\[ 1+x \leqq e^x \leqq 1+\frac{e^a-1}{a}x \]
を示せ．
(2)$(1)$を用いて
\[ 1+a+\frac{a^2}{2}<e^a<1+\frac{a}{2}(e^a+1) \]
を示せ．
(3)$(2)$を用いて
\[ 2.64<e<2.78 \]
を示せ．

経済学において，企業とは自社の利益を最大にすることを目標に活動している組織であり，企業の利益は「売上総額$-$生産費用」で計算されると考えられている．

いま，ある企業が$1$日$x$台（ただし$x \geqq 0$とする）の太陽光パネルを生産している．その$1$台あたりの販売価格$p$万円および$x$台生産するための生産費用$c$万円は，生産台数$x$の関数で表され，それぞれ$p=-4x+a$，$c=x^2+b$である（$a,\ b$は定数である）．ただし，太陽光パネルの生産台数は工場の生産能力の限界により，$1$日$10$台までに制限されている．また，生産した太陽光パネルはその日のうちにすべて売却している．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)この企業の$1$日あたりの利益$f(x)$を生産台数$x$の関数で表せ．
(2)$a=80$，$b=200$のとき，$1$日あたりの利益を最大にするための生産台数とそのときの利益を求めよ．
(3)$a=150$，$b=300$のとき，$1$日あたりの利益を最大にするための生産台数とそのときの利益を求めよ．
(4)$a=40$のとき，この企業がどのような生産台数を選んだとしても赤字にならない（選択可能なすべての$x$に対して，$f(x) \geqq 0$となる）$b$の範囲を求めよ．