「不等号」について
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公立 首都大学東京 2010年 第4問実数$a$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq \frac{3}{2}$を動くとき，
\[ S(a) = \int_a^{a+1} |(3x-4)(x-4)| \, dx \]
を最小にする$a$の値を求めなさい．
\[ S(a) = \int_a^{a+1} |(3x-4)(x-4)| \, dx \]
を最小にする$a$の値を求めなさい．
公立 首都大学東京 2010年 第3問実数$a,\ b,\ c,\ d$に対し$x$の3次の整式$P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$を考える．ただし，$ad \neq 0$とする．方程式$P(x) = 0$の3つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とすると$P(x) =a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$であることが知られている．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)積$\alpha \beta \gamma$，和$\alpha+ \beta + \gamma$，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+ \frac{1}{\beta}+ \frac{1}{\gamma}$を，それぞれ$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい．
(2)もし$\alpha$が実数でないならば，方程式$P(x) = 0$は$\alpha$の共役な複素数$\overline{\alpha}$を解に持つことを証明しなさい．
(3)解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$のうち実数となるものの個数は$0,\ 1,\ 2,\ 3$のどれか，考えられる可能性をすべて，理由も述べて答えなさい．
(4)もし$ad > 0$ならば，解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$のうち正の実数となるものの個数は$0,\ 1,\ 2,\ 3$のどれか．考えられる可能性をすべて，理由も述べて答えなさい．
(1)積$\alpha \beta \gamma$，和$\alpha+ \beta + \gamma$，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+ \frac{1}{\beta}+ \frac{1}{\gamma}$を，それぞれ$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい．
(2)もし$\alpha$が実数でないならば，方程式$P(x) = 0$は$\alpha$の共役な複素数$\overline{\alpha}$を解に持つことを証明しなさい．
(3)解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$のうち実数となるものの個数は$0,\ 1,\ 2,\ 3$のどれか，考えられる可能性をすべて，理由も述べて答えなさい．
(4)もし$ad > 0$ならば，解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$のうち正の実数となるものの個数は$0,\ 1,\ 2,\ 3$のどれか．考えられる可能性をすべて，理由も述べて答えなさい．
公立 首都大学東京 2010年 第2問以下の問いに答えなさい．
(1)$s$を$0 \leqq s \leqq \sqrt{2}$を満たす実数とする．直線$y = x$と直線$y = -x+ \sqrt{2}s$の交点をPとする．直線$y = -x+\sqrt{2}s$と曲線$y =-x^2 +2x$の交点で$x$座標が1以下である点をQとし，Qの$x$座標を$t$とする．このとき，点Pと点Qの距離および$s$を，$t$を用いて表しなさい．
(2)直線$y = x$と曲線$y =-x^2 +2x$で囲まれた図形を直線$y = x$のまわりに回転させてできる立体の体積を求めなさい．
(1)$s$を$0 \leqq s \leqq \sqrt{2}$を満たす実数とする．直線$y = x$と直線$y = -x+ \sqrt{2}s$の交点をPとする．直線$y = -x+\sqrt{2}s$と曲線$y =-x^2 +2x$の交点で$x$座標が1以下である点をQとし，Qの$x$座標を$t$とする．このとき，点Pと点Qの距離および$s$を，$t$を用いて表しなさい．
(2)直線$y = x$と曲線$y =-x^2 +2x$で囲まれた図形を直線$y = x$のまわりに回転させてできる立体の体積を求めなさい．
公立 大阪市立大学 2010年 第1問正の実数からなる2つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は，$n \geqq 3$について
\[ a_n = \frac{a_{n-1} +a_{n-2}}{2},\ b_n = \sqrt{b_{n-1}b_{n-2}} \]
をみたすものとする．次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$の階差数列を$\{c_n\}$とすると，$\{c_n\}$は等比数列になることを示し，その公比を求めよ．
(2)$n \geqq 3$について$a_n$を$a_1,\ a_2,\ n$を用いて表せ．
(3)$b_1 = 1,\ b_2 = 2$のとき，$n \geqq 3$について$\log_2 b_n$を$n$を用いて表せ．
\[ a_n = \frac{a_{n-1} +a_{n-2}}{2},\ b_n = \sqrt{b_{n-1}b_{n-2}} \]
をみたすものとする．次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$の階差数列を$\{c_n\}$とすると，$\{c_n\}$は等比数列になることを示し，その公比を求めよ．
(2)$n \geqq 3$について$a_n$を$a_1,\ a_2,\ n$を用いて表せ．
(3)$b_1 = 1,\ b_2 = 2$のとき，$n \geqq 3$について$\log_2 b_n$を$n$を用いて表せ．
公立 大阪市立大学 2010年 第2問実数$r$に対し，$n \leqq r < n+1$となる整数$n$を$[ \; r \; ]$と表すことにする．正の整数$m$について，$f(m) = [ \; m - \log_2 (m+1) \; ]$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$m+1 = 2^s$となる整数$s$があれば，$f(m+1) = f(m)$となることを示せ．
(2)$m+1 = 2^s$となる整数$s$がなければ，$f(m+1) = f(m) +1$となることを示せ．
(1)$m+1 = 2^s$となる整数$s$があれば，$f(m+1) = f(m)$となることを示せ．
(2)$m+1 = 2^s$となる整数$s$がなければ，$f(m+1) = f(m) +1$となることを示せ．
公立 大阪市立大学 2010年 第4問$a,\ b$は$a < b$をみたす実数とする．$f(x),\ g(x)$は閉区間$[ \; a,\ b \; ]$で定義された連続関数で，$g(x) \leqq f(x)$をみたすとする．座標平面上，不等式$a \leqq x \leqq b,\ g(x) \leqq y \leqq f(x)$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をAとする．Aの面積$S$が正のとき，Aの重心の$y$座標は，
\[ \frac{1}{S} \int_a^b \frac{\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2}{2} \, dx \]
で与えられる．この事実を用いて，次の問いに答えよ．
(1)$r$は$0 < r < 1$をみたす実数とする．不等式$r^2 \leqq x^2 + y^2 \leqq 1,\ y \geqq 0$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をBとおく．Bの重心の$y$座標$Y(r)$を$r$を用いて表せ．
(2)$t$は正の実数とする．不等式$-1 \leqq x \leqq 1,\ \sqrt{1-x^2} -t \leqq y \leqq \sqrt{1-x^2}$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をCとおく．Cの重心の$y$座標$Z(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)(1)で得られた$Y(r)$と(2)で得られた$Z(t)$について，$\displaystyle \lim_{r \to 1-0}Y(r)$と$\displaystyle \lim_{t \to +0}Z(t)$の大小を比較せよ．
\[ \frac{1}{S} \int_a^b \frac{\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2}{2} \, dx \]
で与えられる．この事実を用いて，次の問いに答えよ．
(1)$r$は$0 < r < 1$をみたす実数とする．不等式$r^2 \leqq x^2 + y^2 \leqq 1,\ y \geqq 0$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をBとおく．Bの重心の$y$座標$Y(r)$を$r$を用いて表せ．
(2)$t$は正の実数とする．不等式$-1 \leqq x \leqq 1,\ \sqrt{1-x^2} -t \leqq y \leqq \sqrt{1-x^2}$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をCとおく．Cの重心の$y$座標$Z(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)(1)で得られた$Y(r)$と(2)で得られた$Z(t)$について，$\displaystyle \lim_{r \to 1-0}Y(r)$と$\displaystyle \lim_{t \to +0}Z(t)$の大小を比較せよ．
公立 名古屋市立大学 2010年 第1問方程式$2x \sin x-3=0 \ (-\pi \leqq x \leqq \pi)$の解の個数を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2010年 第2問行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \ $(ただし$b \neq 0$)が，ある自然数$k \geqq 3$に対して$A^k=O$(零行列)を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)行列$A$は逆行列を持たないことを示せ．
(2)$A^2=O$であることを示せ．
(3)$0$でない実数を$p$，単位行列を$E$とおく．$A-pE$が逆行列を持つことを示し，それを$a,\ b,\ p$で表せ．
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \ $(ただし$b \neq 0$)が，ある自然数$k \geqq 3$に対して$A^k=O$(零行列)を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)行列$A$は逆行列を持たないことを示せ．
(2)$A^2=O$であることを示せ．
(3)$0$でない実数を$p$，単位行列を$E$とおく．$A-pE$が逆行列を持つことを示し，それを$a,\ b,\ p$で表せ．
公立 岡山県立大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)方程式$2^x=3^{1-x}$を解け．
(2)$\cos 2\theta-3\cos \theta+2=0$を満たす$\theta$の値を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta < 2\pi$である．
(3)$x^2-xy+y^2=1$のとき，$x+y$のとり得る値の範囲を求めよ．
(1)方程式$2^x=3^{1-x}$を解け．
(2)$\cos 2\theta-3\cos \theta+2=0$を満たす$\theta$の値を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta < 2\pi$である．
(3)$x^2-xy+y^2=1$のとき，$x+y$のとり得る値の範囲を求めよ．
公立 岡山県立大学 2010年 第3問Oを原点とする座標平面において，曲線$y=x^3$上の点P$(t,\ t^3)$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をHとする．ただし，$t>0$である．Hを通り線分OPに垂直な直線と$y$軸との交点をQとし，線分HQと線分OPの交点をRとする．$\triangle$ORQの面積を$S_1$，$\triangle$HPRの面積を$S_2$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点Qの$y$座標を求めよ．
(2)点Rの$x$座標を求めよ．
(3)$S_1$と$S_2$を$t$の式で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to \infty} S_1S_2$の値を求めよ．
(5)$S_1+S_2$の最小値を求めよ．
(1)点Qの$y$座標を求めよ．
(2)点Rの$x$座標を求めよ．
(3)$S_1$と$S_2$を$t$の式で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to \infty} S_1S_2$の値を求めよ．
(5)$S_1+S_2$の最小値を求めよ．