放物線$C:y=x^2+a$があり，直線$\ell:y=2bx$は$C$の接線である．ただし，$a$と$b$は定数で$b>0$とする．

(1)$a$を$b$で表せ．
(2)$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積$S_1$を$b$を用いて表せ．
(3)$C$と$\ell$の接点から$x$軸へ下ろした垂線と$\ell$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$S_2$と$(2)$で求めた$S_1$の比の値$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)曲線$y=x^2+2x$と$x$軸とで囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

(2)直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=4$，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[　]}{[　]}$，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[　]}{[　]}$，$\displaystyle \tan \theta=\frac{[　]}{[　]}$である．

(3)次の計算をせよ．


(i) $\displaystyle \frac{1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{[　]}-[　]$

(ii) $\displaystyle \frac{1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{[　]}-[　]}{[　]}$

(iii) $\displaystyle \frac{1}{1-\displaystyle\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}}=[　]-\sqrt{[　]}+\sqrt{[　]}$


(4)$x \neq 0$とするとき，$\displaystyle k=x+\frac{1}{x}$のとり得る値の範囲は，$k \leqq [　]$，または$k \geqq [　]$である．

次の$[　]$に適する答を記入せよ．

(1)等式$xy+3x-y-3=5$を満たす自然数$x,\ y$は$x=[　]$，$y=[　]$である．
(2)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に$2$点$\mathrm{A}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と$\mathrm{B}(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta) (0 \leqq \theta \leqq \pi)$がある．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になるのは$\theta=[　]$のときであり，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=1$となるのは$\theta=[　]$のときである．
(3)$a,\ b$を実数の定数とする．方程式$x^3+ax+b=0$の$1$つの解が$1+\sqrt{2}i$であるとき，$a=[　]$である．また，この方程式の実数解は$[　]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．

以下の問いに答えよ．

$y=\sin x (0 \leqq x<2\pi) \cdots\cdots①$
$y=\cos x (0 \leqq x<2\pi) \cdots\cdots②$

(1)$①$式と$②$式で表される$2$曲線の交点の座標を求めよ．
(2)$①$式と$②$式で表される$2$曲線で囲まれる図形の面積を求めよ．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めよ．

$0<p<2$をみたす実数$p$に対して，頂点が$(p,\ -p^2)$で点$(2,\ 0)$を通り軸が$y$軸に平行な放物線がある．

(1)この放物線の方程式を$p$を使って表すと$y=[　]$となる．
(2)この放物線と$x$軸で囲まれる領域の面積を$p$を用いて表すと$[　]$である．
(3)この放物線と$x$軸で囲まれる領域の面積が最大になるときの$p$の値は$[　]$であり，そのときの面積は$[　]$である．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めよ．

(1)次の条件をみたす$3$つの実数$x,\ y,\ z$がある．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x \leqq y \leqq z \\
x+y+z=6 \\
z-x=2
\end{array} \right. \]

(i) $x$の取りうる値の範囲は$[　]$である．
(ii) 積$xyz$を$x$の式で表すと$[　]$である．
(iii) 積$xyz$の取りうる値の範囲は$[　]$である．

(2)$1$個のさいころを連続して$3$回投げ，出た目を順に$a,\ b,\ c$とする．

(i) $a=b+c$をみたす確率は$[　]$である．
(ii) $4a=b+c$をみたす確率は$[　]$である．
(iii) $a>b+c$をみたす確率は$[　]$である．

次の設問に答えなさい．

(1)次の計算をしなさい．
\[ (8a^3b^2)(2a^2b)^2 \left( -\frac{1}{4}ab^2 \right)^3 \]
(2)次の$(ⅰ)$～$(ⅲ)$の場合について，それぞれ$x$を求めなさい．ただし，${0}^\circ \leqq x \leqq {90}^\circ$とします．

(i) $\sin {58}^\circ=\cos x$
(ii) $\cos {169}^\circ=-\cos x$
(iii) $\displaystyle \tan {64}^\circ=\frac{1}{\tan x}$

(3)$0<x<y$のとき，次の式を簡単にしなさい．
\[ \sqrt{x^2-2xy+y^2}+\sqrt{x^2-4xy+4y^2} \]

$a \neq 0$で$b^2-4ac \geqq 0$とするとき，$2$次方程式
\[ ax^2+bx+c=0 \]
の解$x$を与える公式
\[ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
を導きなさい．

$n$を$3$以上の自然数とするとき，半径$a>0$の円に内接する正$n$角形の面積を求めなさい．また，この正$n$角形の$n$個の辺の長さの総和を求めなさい．

$3$個のさいころを同時に投げる試行において，出る目の和を$S$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．答えのみではなく，理由も述べなさい．

(1)$S=7$となる確率を求めなさい．
(2)$S \geqq 7$となる確率を求めなさい．
(3)$S \leqq 5$または$S \geqq 16$なら$3000$円，$6 \leqq S \leqq 15$なら$300$円の賞金が得られるものとする．このとき，得られる賞金額の期待値を求めなさい．