次の問に答えよ．

(1)関数$y=x^3+3x^2-2$のグラフを描け．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=(-\sin \theta+\sqrt{3}\cos \theta)^3+3(-\sin \theta+\sqrt{3}\cos \theta)^2-2$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．

$n \geqq 5$を満たす自然数$n$に対して$n^2<2^n$が成り立つことを証明せよ．

次の問に答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．関数$y=x-\sin 2x$の最大値を求めよ．
(2)円周上を$9$等分する点を$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\cdots$，$\mathrm{A}_9$とする．このとき，これらの点を頂点とする正三角形は何個あるか．また，正三角形でない二等辺三角形は何個あるか．
(3)関数$y=|\abs{x-1|-2}$のグラフを描け．

$x \geqq 0$の範囲で関数$y=\sqrt{x}e^{-x}$のグラフを$C$とする．

(1)$C$の概形を描け．ただし$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$は証明せずに使ってよい．
(2)$M>0$とする．曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体のうち，$x \leqq M$の部分の体積$V(M)$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{M \to \infty}V(M)$を求めよ．

式，$1$次関数，$2$次関数について以下の問に答えよ．

(1)次の式を因数分解せよ．

\mon[$①$] $16xy-40x-6y+15$
\mon[$②$] $9x^2+12xy+4y^2+12x+8y$
\mon[$③$] $54x^3-16y^3$
\mon[$④$] $x^4-16y^4$

(2)$1$次関数$y=ax+b$の$-3 \leqq x \leqq 4$における最大値が$6$，最小値が$-2$であるとき，定数$a,\ b$の値をすべて求めよ．
(3)次の$2$次関数の$-1 \leqq x \leqq 2$における最小値を求めよ．

\mon[$①$] $y=-2x^2+4x+4$
\mon[$②$] $y=3x^2+5x+1$

式，$1$次関数，$2$次関数について以下の問に答えよ．

(1)次の式を因数分解せよ．

\mon[$①$] $16xy-40x-6y+15$
\mon[$②$] $9x^2+12xy+4y^2+12x+8y$
\mon[$③$] $54x^3-16y^3$
\mon[$④$] $x^4-16y^4$

(2)$1$次関数$y=ax+b$の$-3 \leqq x \leqq 4$における最大値が$6$，最小値が$-2$であるとき，定数$a,\ b$の値をすべて求めよ．
(3)次の$2$次関数の$-1 \leqq x \leqq 2$における最小値を求めよ．

\mon[$①$] $y=-2x^2+4x+4$
\mon[$②$] $y=3x^2+5x+1$

$2$次不等式$x^2-11x+28<0$を満たす実数$x$の集合を$A$，$x^2-(a+2)x+2a<0$を満たす実数$x$の集合を$B$とする．ここで，$a$は定数で，$a>2$とする．また，$\phi$を空集合，実数全体の集合$U$を全体集合とし，$A,\ B$の補集合を$\overline{A},\ \overline{B}$とする．以下の問に答えよ．

(1)次の不等式を解け．

\mon[$①$] $x^2-11x+28<0$
\mon[$②$] $x^2-(a+2)x+2a<0$

(2)$A \cap B=\phi$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$A \cap B$が整数を$1$つだけ含むように$a$の値の範囲を定めよ．
(4)$\overline{A} \supset \overline{B}$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(5)$\overline{B} \supset A$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(6)$2$次不等式$3x^2-9x+2>0$を満たす実数$x$の集合を$C$とし，その補集合を$\overline{C}$とする．

\mon[$(6$-$1)$] $B \cap C=\phi$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
\mon[$(6$-$2)$] $\overline{C}$の要素で，整数であるものをすべて求めよ．

$a$は正の定数で，$a>1$とする．次の問いに答えよ．

(1)不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x-a \\
y \leqq x(a-x)
\end{array} \right. \]
を満たす領域$D$を図示せよ．
(2)$(1)$で定まる領域$D$内の点$(x,\ y)$について，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．

関数$f(x)=\log (\sin x+2) (0<x<2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の第$1$次導関数$f^\prime(x)$と第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めよ．
(3)$f(x)$の変曲点を求め，$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上にかけ．
(4)$k$を実数の定数とするとき，$0<x<2\pi$における$\log (\sin x+2)-k=0$の解の個数を調べよ．

$x$の関数$y=|e^{-x|-a}$に対して，次の問いに答えよ．ここで$a$は$-\infty<a<\infty$の範囲の定数とする．

(1)$e^{-1}<a<1$であるとき，$x$の関数$y=|e^{-x|-a}$のグラフの概形を座標平面上にかけ．
(2)$\displaystyle f(a)=\int_0^1 |e^{-x|-a} \, dx$とおく．$-\infty<a<\infty$であるとき，$f(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が$-\infty<a<\infty$であるとき，$f(a)$の最小値を求めよ．