「不等号」について
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私立 東京電機大学 2010年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$3$つの数$a,\ a+6,\ 2a+17$がこの順に等比数列となるような$a$の値をすべて求めよ．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{1-x^2}<(2 \sqrt{2})^{x-1}$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(3)方程式$\sin^2 x+2 \cos^2 x+3 \cos x+1=0 (0 \leqq x<2\pi)$をみたす$x$を求めよ．
(4)無限級数$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{5}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{5}{3^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{5}{3^3}+\cdots$の和を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2x+1) \sin 4x \, dx$を求めよ．
(1)$3$つの数$a,\ a+6,\ 2a+17$がこの順に等比数列となるような$a$の値をすべて求めよ．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{1-x^2}<(2 \sqrt{2})^{x-1}$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(3)方程式$\sin^2 x+2 \cos^2 x+3 \cos x+1=0 (0 \leqq x<2\pi)$をみたす$x$を求めよ．
(4)無限級数$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{5}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{5}{3^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{5}{3^3}+\cdots$の和を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2x+1) \sin 4x \, dx$を求めよ．
私立 東京電機大学 2010年 第3問正の定数$k$に対して，曲線$\displaystyle C:y=\frac{x^3}{3}$の接線で傾きが$k^2$のものを$\ell_1,\ \ell_2$とする．$C$と$\ell_1,\ \ell_2$の接点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$はそれぞれ，第$1$，第$3$象限にあるとする．また，$C$と$\ell_1$との共有点のうち，$\mathrm{P}$でないものを$\mathrm{R}$とする．次の問に答えよ．
(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を$k$で表せ．
(2)線分$\mathrm{QR}$と$C$で囲まれた図形の面積$T$を$k$で表せ．
(3)$(2)$で求めた$T$が，$T<1$をみたすような$k$の値の範囲を求めよ．
(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を$k$で表せ．
(2)線分$\mathrm{QR}$と$C$で囲まれた図形の面積$T$を$k$で表せ．
(3)$(2)$で求めた$T$が，$T<1$をみたすような$k$の値の範囲を求めよ．
私立 東京電機大学 2010年 第4問次の各問に答えよ．
(1)$3$つの数$a,\ a+6,\ 2a+17$がこの順に等比数列となるような$a$の値をすべて求めよ．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{1-x^2}<(2 \sqrt{2})^{x-1}$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(3)方程式$\sin^2 x+2 \cos^2 x+3 \cos x+1=0 (0 \leqq x<2\pi)$をみたす$x$を求めよ．
(4)曲線$y=x^3-3x^2+k$が$x$軸と異なる$3$点で交わるような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^2 |x-1|(3x+1) \, dx$を求めよ．
(1)$3$つの数$a,\ a+6,\ 2a+17$がこの順に等比数列となるような$a$の値をすべて求めよ．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{1-x^2}<(2 \sqrt{2})^{x-1}$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(3)方程式$\sin^2 x+2 \cos^2 x+3 \cos x+1=0 (0 \leqq x<2\pi)$をみたす$x$を求めよ．
(4)曲線$y=x^3-3x^2+k$が$x$軸と異なる$3$点で交わるような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^2 |x-1|(3x+1) \, dx$を求めよ．
私立 東京電機大学 2010年 第6問平面上に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(4,\ 1)$，$\mathrm{C}(4,\ 4)$，$\mathrm{D}(1,\ 4)$をとる．また$a>0$とし，$y=a^2x^2$で定まる放物線を$T$とする．ただし，$T$は辺$\mathrm{CD}$と交点をもつものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a$の範囲を求めよ．
(2)$T$が四角形$\mathrm{ABCD}$を$2$つに分割するとき，$T$よりも右側にある部分の面積を$S$とする．$S$を$a$の関数で表せ．
(3)$T$が四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$2$等分するときの$a$の値を求めよ．
(1)$a$の範囲を求めよ．
(2)$T$が四角形$\mathrm{ABCD}$を$2$つに分割するとき，$T$よりも右側にある部分の面積を$S$とする．$S$を$a$の関数で表せ．
(3)$T$が四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$2$等分するときの$a$の値を求めよ．
私立 津田塾大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$n$を自然数とする．全ての$x>0$に対して$x>n \log x$となるための$n$の条件を求めよ．ただし，$e=2.71 \cdots$である．
(2)座標平面上で点$(0,\ 2)$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$に外接し$x$軸に接する円の中心$\mathrm{P}(a,\ b)$が描く図形の方程式を求めよ．
(1)$n$を自然数とする．全ての$x>0$に対して$x>n \log x$となるための$n$の条件を求めよ．ただし，$e=2.71 \cdots$である．
(2)座標平面上で点$(0,\ 2)$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$に外接し$x$軸に接する円の中心$\mathrm{P}(a,\ b)$が描く図形の方程式を求めよ．
私立 津田塾大学 2010年 第2問一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}$を$t:1-t (0 \leqq t \leqq 1)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{BPC}=\theta$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を$t$と$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|=\sqrt{t^2-t+1}$を示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{OA}$を動くとき，$\cos \theta$の最小値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を$t$と$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|=\sqrt{t^2-t+1}$を示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{OA}$を動くとき，$\cos \theta$の最小値を求めよ．
私立 津田塾大学 2010年 第3問$0 \leqq a \leqq \pi$である$a$に対して，$\displaystyle I(a)=\int_0^\pi \sin^3 (x+a) \, dx+\int_0^a \sin x \, dx$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$I(a)$を$a$を用いて表せ．
(2)$0 \leqq a \leqq \pi$における$I(a)$の最大値を求めよ．
(1)$I(a)$を$a$を用いて表せ．
(2)$0 \leqq a \leqq \pi$における$I(a)$の最大値を求めよ．
私立 津田塾大学 2010年 第2問$x$の$2$次関数$f(x)=x^2-2ax+a^3$について次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の$-1 \leqq x \leqq 1$における最小値$m$を$a$を用いて表せ．
(2)区間$0 \leqq a \leqq 2$における$m$の最小値を求めよ．
(1)$f(x)$の$-1 \leqq x \leqq 1$における最小値$m$を$a$を用いて表せ．
(2)区間$0 \leqq a \leqq 2$における$m$の最小値を求めよ．
私立 津田塾大学 2010年 第3問放物線$y=x^2$を$C$とし，$C$上の$2$点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$，$\mathrm{Q}(b,\ b^2) (a<b)$を考える．$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積を$S$とし，$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$から$x$軸に下ろした垂線と$C$との交点を$\mathrm{H}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{MQH}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{MQH}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ．
私立 津田塾大学 2010年 第1問次の問に答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき，
\[ (1-t)\mathrm{AB}^2+t \mathrm{AC}^2=\mathrm{AD}^2+\frac{1-t}{t} \mathrm{BD}^2 \]
が成り立つことを示せ．ただし$0<t<1$とする．
(2)$f(x)=x^3+ax^2+bx$とする．ただし，$a,\ b$は実数で$a>0$とする．方程式$f(x)=0$がただ$1$つの実数解を持ち，関数$y=f(x)$が異なる$2$点$x=\alpha$，$x=\beta$で極値をとるとき，$\alpha,\ \beta$はいずれも負であることを示せ．
(3)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2-1 \\
y \leqq -x^2+3x+1 \\
x \geqq 0
\end{array} \right. \]
の表す領域の面積を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき，
\[ (1-t)\mathrm{AB}^2+t \mathrm{AC}^2=\mathrm{AD}^2+\frac{1-t}{t} \mathrm{BD}^2 \]
が成り立つことを示せ．ただし$0<t<1$とする．
(2)$f(x)=x^3+ax^2+bx$とする．ただし，$a,\ b$は実数で$a>0$とする．方程式$f(x)=0$がただ$1$つの実数解を持ち，関数$y=f(x)$が異なる$2$点$x=\alpha$，$x=\beta$で極値をとるとき，$\alpha,\ \beta$はいずれも負であることを示せ．
(3)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2-1 \\
y \leqq -x^2+3x+1 \\
x \geqq 0
\end{array} \right. \]
の表す領域の面積を求めよ．