以下の$[　]$にあてはまる数値または記号を求めよ．

(1)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
4x^2-100x<51 \\
|2x-5|+|6x-1|>15
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<x<\frac{[　]}{[　]}$である．

(2)連立方程式$\left\{ \begin{array}{l}
3x-4y+5z=9 \\
5x+2y-3z=5 \\
2x+6y-z=-7
\end{array} \right.$の解は
\[ x=\frac{[　]}{[　]},\quad y=-\frac{[　]}{[　]},\quad z=-\frac{[　]}{[　]} \]
である．
(3)四辺形$\mathrm{ABCD}$が$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CD}=\sqrt{14}$，$\angle \mathrm{ABC}=60^\circ$，$\angle \mathrm{ADC}=90^\circ$をみたすとき，$\mathrm{AC}=[　] \sqrt{[　]}$，$\mathrm{AD}=\sqrt{[　]}$，四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$=[　]+[　] \sqrt{[　]}$であり，点$\mathrm{D}$を通る直線が辺$\mathrm{BC}$と垂直に交わる点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{DE}=[　]+\sqrt{[　]}$である．

連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
3x-5<1 \\
1-2x<7
\end{array} \right. \]
を解くと$[$*$]$である．また，$[$*$]$を解とする$2$次不等式は$[　]$である．

$2$次関数$y=a(x-2)^2+4 (0 \leqq x \leqq 3)$について，以下の問に答えよ．ただし，$a$は$0$でない定数とする．

(1)この関数の最大値が$8$であるような$a$の値は，$a=[　]$である．
(2)この関数の最小値が$-4$であるような$a$の値は，$a=[　]$である．

$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2},\ \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{8}$のとき，次の値を求めよ．

(1)$\sin \theta+\cos \theta=[　]$
(2)$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[　]$

関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が$f(0)=0$，$f(1)=-4$，$f(2)=4$，$f(3)=6$を満たすとする．

(1)定数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．

$2$次関数$f(x)=x^2+2x+2,\ g(x)=x^2-2x+4,\ h(x)=2x^2$について次の問いに答えよ．

(1)放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)放物線$y=f(x)$と$y=h(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(3)放物線$y=g(x)$と$y=h(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(4)連立不等式$y \leqq f(x)$，$y \leqq g(x)$，$y \geqq h(x)$の表す領域を$D$とする．$D$の面積を$a+b \sqrt{3}+c \sqrt{5}$（ただし，$a,\ b,\ c$は有理数）とするとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^3+3ax^2+3bx+c$を考える．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$f(0)=65$，$f(4)=81$であるという．このとき，$b=[アイ]a-[ウ]$，$c=[エオ]$である．
(2)さらに$x<0$となる$x$で極大値$81$をもつという．このとき，$a=[カ]$である．
(3)$f(x)$は$x=[キ]$で極小値$[クケ]$をとる．
(4)方程式$f(x)=0$の解は，$x=[コサ]$，$\displaystyle \frac{[シ] \pm [ス] \sqrt{[セ]} i}{[ソ]}$である．

連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
0 \leqq y \leqq 1 & & \cdots\cdots① \\
\log_{\frac{1}{2}}(2x^2+3x-2) \geqq \log_{\frac{1}{2}}(x^2+2x) & & \cdots\cdots② \\
y^2 \leqq 2x-1 & & \cdots\cdots③ \\
4x+y-3 \geqq 0 & & \cdots\cdots④
\end{array} \right. \]
が表す領域$D$を考える．

(1)$②$の解は，$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<x \leqq [　]$である．
(2)放物線$y^2=2x-1$と直線$4x+y-3=0$の$2$交点のうち，$y$座標が正となる交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]} \right)$である．
(3)領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

$\displaystyle a=\frac{\sqrt{3}}{6},\ b=\tan \frac{\pi}{12}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$x$を実数（ただし$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{4}$）とするとき，$\tan 2x$を$\tan x$の式で表せ．
(2)$a$と$b$の大小を，理由をつけて答えよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{10^x-10^{-x}}{10^x+10^{-x}}$が$\displaystyle f(a)=\frac{1}{2},\ f(b)=\frac{1}{5}$を満たすとき，
\[ a=\frac{1}{2} \log_{10} [　],\quad b=\frac{1}{2}(\log_{10} [　]-\log_{10} [　]) \]
であり，$f(a+b)$の値は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．
(2)関数$f(x)=2^{-3x}-9 \cdot 2^{-2x}+24 \cdot 2^{-x}-20$は$\displaystyle -2 \leqq x \leqq -\frac{1}{2}$において最小値$-[　]$，最大値$[　]$をとる．