$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{\sqrt{2}}{3} (0^\circ<\theta<90^\circ)$のとき，次の値を求めなさい．

(1)$\sin \theta+\cos \theta$
(2)$\sin^4 \theta+\cos^4 \theta$

次の問いに答えなさい．

(1)次の式を因数分解しなさい．
\[ 4x^2+8x-21 \]
(2)次の$2$次方程式を解きなさい．
\[ x^2+5x+3=0 \]
(3)次の連立不等式を解きなさい．
\[ 2-4x \geqq -2x>3x-2 \]
(4)$x=\sqrt{7+2 \sqrt{10}},\ y=\sqrt{7-2 \sqrt{10}}$のとき，次の式の値を求めなさい．

(i) $x+y,\ xy$
(ii) $x^3+y^3$

(5)男子$4$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，次のような並び方は何通りありますか．

(i) 女子$3$人が隣り合う
(ii) 女子どうしが隣り合わない

(6)$1$個のさいころを繰り返し$3$回投げるとき，目の最小値が$2$以下である確率を求めなさい．

$-\pi<x \leqq \pi$のとき，$y=\cos 2x-3 \cos x-\sin^2 x$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

次の各設問に答えよ．

(1)方程式$3y-10x=48$と不等式$x^2<y<4x+15$を同時に満たす整数は$x=[　]$，$y=[　]$である．
(2)$n$本の当たりくじを含む$10$本のくじから，$2$本を同時にひく．少なくとも$1$本が当たりくじである確率が$\displaystyle \frac{8}{15}$であるとすると，$2$本ともはずれる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$となるから，$n$について
\[ n^2-[　] n+[　]=0 \]
が成り立つ．したがって，条件を満たす$n$の値は$[　]$である．

円$\mathrm{O}_1,\ \mathrm{O}_2,\ \mathrm{O}_3,\ \cdots$があり，すべての$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して

(i) $\mathrm{O}_n$の中心の座標は$(x_n,\ 0)$であり，$x_n>x_{n+1}$である．
(ii) $\mathrm{O}_n$と$\mathrm{O}_{n+1}$は外接している．
(iii) $\mathrm{O}_n$は原点を端点とする$2$本の半直線$\displaystyle y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}x (x \geqq 0)$に接しているとする．

このとき

(1)$\mathrm{O}_n$の半径$r_n$を$x_n$で表すと$r_n=[　]$である．
(2)$x_n$を$x_1$と$n$で表すと$x_n=[　]$である．
(3)$x_1=4$とする．$\mathrm{O}_1$から$\mathrm{O}_m$までの面積の和を$S_m$とすると$\displaystyle \lim_{m \to \infty}S_m=[　]$である．

次の問いに答えなさい．

(1)次の式を因数分解しなさい．
\[ 6x^2-xy-12y^2 \]
(2)次の$2$次方程式を解きなさい．
\[ x^2-x-1=0 \]
(3)次の連立不等式を解きなさい．
\[ 3x-1 \leqq x \leqq 2x+1 \]
(4)$\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}},\ y=\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}$のとき，次の式の値を求めなさい．

(i) $x+y,\ xy$
(ii) $3x^2-5xy+3y^2$

(5)男子$6$人，女子$4$人から$4$人の代表を選ぶとき，次のような選び方は何通りありますか．

(i) 男子$2$人，女子$2$人を選ぶ
(ii) 特定の$2$人$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が必ず選ばれる

(6)袋の中に白球$5$個，赤球$3$個が入っている．この袋から同時に$3$個の球を取り出すとき，白球が$2$個，赤球が$1$個出る確率を求めなさい．

$100$人の有権者のうち，投票日前から「必ず投票に行く」としていた人が$81$人，実際に投票した人が$66$人であった．以下の問に答えよ．

(1)投票する予定であり，かつ実際にも投票した人数$n$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)投票する予定はなかったが実際には投票した人数を$p$，投票する予定がなく実際にも投票しなかった人数を$q$とするとき，$p<q$を満たす$n$の最小値を求めよ．

$x-y=2,\ x^2+y^2=8$であるとき，次の値を求めよ．ただし，$x>0$とする．

(1)$xy=[　]$
(2)$x+y=[　]$

次の$[　]$を適当に補え．

(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[　]$となる．
(2)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[　]$である．
(3)$2$つの平面ベクトルを$\overrightarrow{a}=(3,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(0,\ 2)$とする．$s,\ t$が$s+t=3 (0 \leqq s \leqq 3)$をみたすとき，ベクトル$s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$の大きさの最大値は$[　]$，最小値は$[　]$である．
(4)$y=\sin^2 x+4 \sin x \cos x+3 \cos^2 x$を$\sin 2x$と$\cos 2x$の式で表すと$y=[　]$となり，$0 \leqq x \leqq \pi$における$y$の値の範囲は$[　]$である．
(5)ある粒子を$1$枚で$50 \, \%$遮断できる繊維がある．この繊維を少なくとも$[　]$枚重ねれば，この粒子を$99 \, \%$以上遮断できる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(6)$\displaystyle S_n=\frac{\left( \sum_{k=1}^n k \right)^2}{\sum_{k=1}^n k^2}$のとき，$S_3=[　]$であり，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n}=[　]$である．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[　]$となる．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2-2x-3<0 \\
x^2+3x+1>0
\end{array} \right.$をみたす$x$の範囲は$[　]$である．
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2ax-a^2+1=0$が実数解をもたないような実数$a$の範囲は$[　]$である．
(4)初速$v \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$で地上から真上に投げたボールの$x$秒後の高さ$y \; \mathrm{m}$は，$y=vx-5x^2$で表されるものとする．地上から真上に投げたボールが$3$秒後に最高点に達したとすると，ボールの初速は$[　] \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$であり，最高点の高さは$[　] \; \mathrm{m}$である．
(5)$4$桁の自然数で各位の数字がすべて異なるものは全部で$[　]$個あり，そのうち，$1234$より大きいものは全部で$[　]$個である．
(6)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[　]$である．
(7)$\mathrm{A}$君は$3$校の大学を受験し，合格する確率はすべて等しく$\displaystyle \frac{1}{2}$であるという．$\mathrm{A}$君が少なくとも$1$校に合格する確率は$[　]$である．また，合格した大学には$1$校につき$30$万円の入学金を支払うとすると，支払う入学金の期待値は$[　]$円である．