$2$次関数$y=x^2+ax+b$と，この関数のグラフ$C$について，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は定数とする．

(1)$C$の頂点が$(2,\ -1)$のとき，$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ．
(2)$C$の軸が直線$x=-1$で，$C$が点$(1,\ 1)$を通るとき，この関数の最小値を求めよ．
(3)$C$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$-a$平行移動すると，$2$点$(0,\ 0)$，$(2,\ -6)$を通る放物線になるとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)この関数の$-1 \leqq x \leqq 2$における最小値が$0$，最大値が$8$であるとき，$a,\ b$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$3\theta=2\theta+\theta$であることを用いて，$\cos 3\theta$を$\cos \theta$で表せ．
(2)方程式$\cos \theta+\cos 2\theta+\cos 3\theta=-1$を解け．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．

曲線$y=9-x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-3,\ 0)$，$\mathrm{P}(t,\ 9-t^2)$をとる．次の問いに答えよ．ただし，$-3<t<3$とする．

(1)$\mathrm{P}$から$x$軸に垂線$\mathrm{PQ}$をおろすとき，$\triangle \mathrm{PAQ}$の面積の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$におけるこの曲線の接線と原点との距離が$3$であるとき，$t$の値を求めよ．

$1$辺の長さが$1$（メートル）の正三角形の紙がある．この三角形の$3$頂点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{Q}$を次のようにとる．

点$\mathrm{Q}$を通るある直線を折り目としてこの紙を折り曲げるときに点$\mathrm{A}$は点$\mathrm{P}$に重なる．

ここで，$\mathrm{BP}=x$（メートル），$\mathrm{PQ}=y$（メートル）とおくとき，
\[ x^2-([テ]-y)x+[ト]-[ナ]y=0 \]
が成り立つ．これを$x$についての方程式とみると，$0 \leqq x \leqq 1$であるから
\[ [ニ]+[ヌ] \sqrt{[ネ]} \leqq y \leqq 1 \]
となる．したがって，$\mathrm{AQ}$が最小となるのは，$y=[ニ]+[ヌ] \sqrt{[ネ]}$のときであり，このとき，$\angle \mathrm{BAP}=[ノ]^\circ$である．ただし，$[ネ]$はできる限り小さい自然数で答えること．

$-1 \leqq a \leqq 1$の範囲の実数$a$に対して
\[ f(a)=\int_{-1}^1 x |x-a| \, dx \]
とおく．$k$を実数とし，区間$-1 \leqq x \leqq 1$を定義域とする関数
\[ g(x)=12f(x)+kx \]
を考える．

(1)$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で
\[ 12f(x)=[ハ]x^3-[ヒ]x \]
が成り立つ．
(2)関数$g(x)$が$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}$で最小値をとるとき，$k=[フ]$である．
(3)関数$g(x)$が最小値をとるような$x$の値が$2$つあるとき，$k=[ヘ]$である．このときの$g(x)$の最小値は$[ホ]$である．

$\displaystyle x=\frac{1+a^2}{2a}$（$a \geqq 1$，$a$は実数）であるとき，$\displaystyle a \left( \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}} \right)$の値を求めよ．

$2$直線$x+y-5=0$，$(\sqrt{3}-2)x-y-4 \sqrt{3}=0$のなす角を$\theta$とする（$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$）．$\displaystyle \frac{\pi}{\theta}$の値を求めよ．

直線$y-2x+m=0$（$m$は実数）と円$x^2+y^2+2x+6y+6=0$が相異なる$2$点で交わるためには，$m$のとりうる範囲は，$a<m<b$とならなければならない．$\displaystyle \frac{(b-a)^2}{16}$の値を求めよ．

円$C:(x-6)^2+y^2=25$と直線$L:y=ax$（$a$は実数，$a>0$）について考える．$C$と$L$の$2$つの相異なる交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$C$の中心と$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$でつくる三角形の面積が最大となる$a$を$A$とする．$\sqrt{47}A$の値を求めよ．

関数$y=2 \cos^2 x+2 \sin x+a (0 \leqq x \leqq 2\pi)$（$a$は実数）の最小値が$-3$となるとき，$a^2$の値を求めよ．