次の不等式$①$，$②$，$③$を同時にみたす領域を$A$，不等式$①$，$②$，$③$，$④$を同時にみたす領域を$B$とする．
\[ \begin{array}{llllll}
y \leqq -4x^2+24x-20 & \cdots\cdots① & & & y \geqq 0 & \cdots\cdots② \\
y \leqq -x^2+16 & \cdots\cdots③ & & & a \leqq x \leqq a+1 & \cdots\cdots④
\end{array} \]
ただし，$0<a<4$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)領域$A$の面積を求めよ．
(2)領域$B$の面積が最大になるときの$a$の値を求めよ．

連立不等式$x+y \leqq 3$，$x+y \geqq -1$，$y \leqq 3x+3$，$y \geqq 3x-1$の表す領域を$D$とするとき，次の問に答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$x-y$の最大値を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$y-(x-1)^2$の最大値を求めよ．

$n$を$5$以上の自然数とする．箱の中に，$1$から$n$までの自然数を$1$つずつ書いた$n$枚のカードがある．このとき，次の問に答えよ．

(1)箱から$2$枚のカードを同時に取り出すとき，取り出した$2$枚のカードの数の和が$6$である確率を$n$で表せ．
(2)箱から$3$枚のカードを同時に取り出すとき，取り出した$3$枚のカードの数の最大値を$M$とする．このとき，$M \leqq 5$である確率を$n$で表せ．
(3)最大値$M$の期待値を$n$で表せ．

座標平面上の$2$直線$\ell:x \sin \theta-y \cos \theta=0$（ただし$0^\circ \leqq \theta<180^\circ$），$\displaystyle m:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$を考える．$\ell$，$m$に関する対称移動をそれぞれ$f,\ g$とする．

(1)対称移動$f$を表す行列を求めよ．
(2)移動の合成$f \circ g$が原点のまわりの回転移動となることを示せ．また，その回転角を$\theta$を用いて表せ．
(3)移動の合成$f \circ g$を表す行列と$g \circ f$を表す行列が一致するときの$\theta$を求めよ．ただし，$f$と$g$は異なる移動とする．

曲線$C:y=x^3-x^2$と放物線$D:y=3x^2+px+q$が共有点$(a,\ a^3-a^2)$で共通の接線を持つとする．

(1)$C$と$D$のすべての共有点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$D$は$x$軸と共有点を持つことを示せ．また，$D$と$x$軸が接するような$a$の値を求めよ．
(3)$0<a<1$のとき，$x$軸と$D$で囲まれた図形のうち$x \leqq a$の部分の面積を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で曲線$C:y=x |x-k|$（ただし$k$は正の定数）と直線$\ell:y=mx$が原点以外に$2$点$\mathrm{P}(\alpha,\ m \alpha)$，$\mathrm{Q}(\beta,\ m \beta)$で交わっている．ただし$0<\alpha<\beta$とする．

(1)$m$の範囲を$k$で表せ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた$2$つの図形の面積の和$S$を$m$と$k$で表せ．
(3)$S$が最小となるときの$m$を$k$で表せ．
(4)$(3)$のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}}=\sqrt{2}$であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$A$を正定数，角$\theta$を$0^\circ<\theta<45^\circ$とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_1 = \frac{A\sin \theta}{1+\sin \theta} \]
\[ a_n = \frac{\{A-2(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1})\}\sin \theta}{1+\sin \theta} \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
で定義する。
このとき，次の各間に答えよ．

(1)$\displaystyle\frac{a_2}{a_1}$を，$A$と$\theta$を用いて表せ．
(2)$a_n (n \geqq 3)$を，$a_{n-1}$および$A,\ \theta$を用いて表せ．
(3)初項から第$n$項までの和$S_n = a_1+\cdots+a_n$を，$A,\ \theta$および$n$を用いて表せ．

$\displaystyle x \geqq \frac{1}{2}$において，直線$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，曲線$\displaystyle y=4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2$および$x$軸で囲まれる図形を$D$とする．ただし，$D$は境界をすべて含む．このとき，次の各問に答えよ．

(1)図形$D$の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell:y=ax+b (a>0)$と図形$D$が共有点をもつとき，$a,\ b$のみたす不等式を求めよ．また，それらの不等式が表す領域を$a$-$b$平面上に図示せよ．
(3)図形$D$の面積$S$が，直線$y=4x+b$によって$2$等分されるような定数$b$の値を求めよ．

表の出る確率が$p \ (0<p<1)$，裏の出る確率が$1-p$の硬貨が1枚ある．$n$を自然数とする．この硬貨を$2n$回投げたとき，表が$n+1$回以上出る確率を$P_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(2)$P_3>P_2$となる$p$の範囲を求めよ．
(3)$P_{n+1}-P_n = p^{n+1}(1-p)^n(ap+b)$となる$a,\ b$を$n$を用いて表せ．ただし$a,\ b$は$p$を含まないとする．
(4)$\displaystyle p=\frac{7}{16}$のとき，$P_n$を最大にする$n$を求めよ．