次の問いに答えよ．

(1)恒等式$\displaystyle \frac{1}{2}(x+y+z)\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\}=x^3+y^3+z^3-3xyz$が成り立つことを示せ．
(2)$a \geqq 0,\ b \geqq 0,\ c \geqq 0$のとき，$\displaystyle \frac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}$が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのは$a=b=c$のときであることを示せ．
(3)一辺の長さがそれぞれ$a,\ b,\ c$の三角形の面積は$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$で与えられることが知られている．ただし，$\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}$とする．三辺の長さの和が$2s \ (s>0)$であるような三角形の面積は$\displaystyle \frac{s^2}{3 \sqrt{3}}$以下であることを示せ．また，面積が$\displaystyle \frac{s^2}{3 \sqrt{3}}$となるのは，三角形が正三角形のときであることを示せ．

赤，青，黄$3$組のカードがある．各組は$10$枚ずつで，それぞれ$1$から$10$までの番号がひとつずつ書かれている．次の問いに答えよ．

(1)$30$枚のカードの中からカード$4$枚を取り出すとき，$2$枚だけが同じ番号で残りの$2$枚は相異なる番号である確率を求めよ．
(2)$30$枚のカードの中からカード$k$枚（$4 \leqq k \leqq 10$）を取り出すとき，$2$枚だけが同じ番号で残りの$(k-2)$枚はすべて異なる番号が書かれている確率を$p(k)$とする．

(i) $\displaystyle \frac{p(k+1)}{p(k)} \ (4 \leqq k \leqq 9)$を求めよ．
(ii) $p(k) \ (4 \leqq k \leqq 10)$が最大となる$k$を求めよ．

関数$f(x)$を$f(x)=\log (x+1)+\sin ax$と定義する．ただし，$x \geqq 0$であり，$a$は正の定数である．

(1)$f(e-1)=0$を満たす最も小さい$a$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$a$の値を使って，定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2(e-1)}{3}}f(x) \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{2\pi}{e-1}$とするとき，方程式$f(x)=0$は$\displaystyle 0<x<\frac{3(e-1)}{4}$の範囲に解を持つことを証明せよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{3}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \displaystyle\frac{3}{2}
\end{array} \right)$と点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，点$\mathrm{X}_0(1,\ 0)$がある．行列$A$で表される移動によって点$\mathrm{X}_0$は点$\mathrm{X}_1$へ移り，行列$A^2$で表される移動によって点$\mathrm{X}_0$は点$\mathrm{X}_2$へ移るものとする．以下同様に正の整数$n$について，行列$A^n$で表される移動によって点$\mathrm{X}_0$は点$\mathrm{X}_n$へ移るものとする．

(1)行列$A$は，$\alpha>0$と$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を使って$A=\alpha \left( \begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$と変形できる．$\alpha$と$\theta$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OX}_0 \mathrm{X}_1$の面積$S_1$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OX}_0 \mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$の面積$S_2$を求めよ．
(4)$1 \leqq n<12$とする．線分$\mathrm{OX}_0$，$\mathrm{X}_0 \mathrm{X}_1$，$\cdots$，$\mathrm{X}_{n-1} \mathrm{X}_n$，$\mathrm{X}_n \mathrm{O}$で囲まれる部分の面積$S_n$を$n$を使って表せ．

$\displaystyle f(x)=\cos x+\frac{1}{2}\sin 2x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とする．

(1)関数$f(x)$の最大値と最小値，および，それらを与える$x$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点は$4$個あることを示せ．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=\cos x$で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 3)$のなす角$\theta$を求めよ．
(2)放物線$y=-x^2+4x+8$と$x$軸とで囲まれた図形に内接し，$x$軸上に$2$つの頂点をもつ長方形の面積の最大値を求めよ．
(3)整数$5^{2010}$の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(4)関数$y=\sin x-\cos x+\sqrt{2} \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の最大値と最小値を求めよ．

$a$を定数とし，連立不等式$0 \leqq x \leqq 2,\ y(y-x^2+ax) \leqq 0$が表す領域を$D(a)$とする．

(1)$D(1)$および$D(-2)$を図示せよ．
(2)$D(a)$の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を$a$の式で表せ．

図に示す点$\mathrm{O}$を原点とする直交座標空間に点$\mathrm{P}(1,\ 0,\ 0)$をとる．点$\mathrm{P}$を，$xy$平面内で原点$\mathrm{O}$を中心として図に示す矢印の方向に角度$\theta$回転させた位置に点$\mathrm{Q}$をとる．さらに，点$\mathrm{Q}$および$z$軸を含む平面内で，点$\mathrm{O}$を中心として点$\mathrm{Q}$を矢印の方向に角度$\theta$回転させた位置に点$\mathrm{R}$をとる．ただし，角度$\theta$の範囲は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{R}$の座標$(x_\mathrm{R},\ y_\mathrm{R},\ z_\mathrm{R})$を，角度$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{ORP}=\frac{\pi}{3}$であるとき，角度$\theta$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$から平面$x+y=0$に下ろした垂線の長さ$l$を，角度$\theta$の関数で表せ．
(4)(3)で求めた垂線の長さ$l$が最大となるときの角度$\theta$の値とそのときの$l$の値を求めよ．

実数$x,\ a$が$x>0$かつ$\displaystyle \sqrt{x}=\frac{1+3a}{3}$を満たすとき，$\sqrt{3x-4a}$を$a$で表せ．

$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_5 \mathrm{A}_6$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_5 \mathrm{A}_6$の面積を求めよ．
(2)各頂点$\mathrm{A}_i$から辺上に反時計回りに$x$だけ進んだ点を$\mathrm{B}_i$とする．ただし$0<x<1$とする．六角形$\mathrm{B}_1 \mathrm{B}_2 \mathrm{B}_3 \mathrm{B}_4 \mathrm{B}_5 \mathrm{B}_6$の面積を$x$を使って表し，それが最小となる$x$およびそのときの面積を求めよ．