次に答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，$\displaystyle \sin^2 x=\sin^2 \left( x+\frac{\pi}{3} \right)$を解け．
(2)曲線$y=\sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$と曲線$\displaystyle y=\sin^2 \left( x+\frac{\pi}{3} \right) \ (0 \leqq x \leqq \pi)$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

次に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．必要ならば，$1.09<\log 3<1.10$を用いてよい．

(1)すべての$x>0$に対して，不等式
\[ x-\frac{x^2}{2} < \log (1+x) \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{x^2}{3}-\log (1+x)$の$0 \leqq x \leqq 2$における最大値，および最小値を求めよ．
(3)方程式$\displaystyle x-\frac{x^2}{3}=\log (1+x)$は$0<x<2$の範囲に解を1つだけもつことを示せ．
(4)(3)における解を$\alpha \ (0<\alpha<2)$とする．曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$と曲線$y=\log (1+x)$で囲まれた図形($0 \leqq x \leqq \alpha$の部分)の面積を$S$とする．また，曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$，$y=\log (1+x)$と直線$x=2$で囲まれた図形($\alpha \leqq x \leqq 2$の部分)の面積を$T$とする．$S$と$T$の大小を比較せよ．

$a,\ b$は$a<b$を満たす実数とする．放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$においてそれぞれ接線を引く．この$2$つの接線の交点を$\mathrm{P}(p,\ q)$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{\pi}{4}$を満たしながらこの放物線上を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めなさい．
(3)(2)の条件の下で，この放物線と$2$つの接線で囲まれた図形の面積を$q$を用いて表しなさい．

次の各問いに答えよ．

(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径$1$の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする．また，直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．

\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ．
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ．
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径1の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする．また，直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．

\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ．
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ．
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$t$を実数とする．放物線$y=x(2-x)$上の点$(t,\ t(2-t))$における接線の方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた直線と放物線$y=x(2-x)$および2直線$x=0,\ x=3$とで囲まれた図形の面積を$S(t)$とする．$0 \leqq t \leqq 2$における$S(t)$の最大値，最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

関数$f(x)=3 \sin x+4 \cos x$について，次の問に答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．

(1)$f(x)=r \sin (x+\alpha)$と変形したとき，$r$の値と$\cos \alpha,\ \sin \alpha$の値を求めよ．ただし，$r>0,\ -\pi<\alpha \leqq \pi$とする．
(2)$f(x)$の最大値$M$と最小値$m$を求めよ．
(3)(1)の$r$と$\alpha$に対し，$\displaystyle f(x) \geqq \frac{r}{2}$となる$x$の範囲を$\alpha$を用いて表せ．

関数$f(x)=x^3-3x^2+3ax+b \ (a,\ b \text{は定数})$について，次の問に答えよ．

(1)$f(x)$が極値を持つような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値の差が32となるとき，$a$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた$a$の値に対し，$f(x)$の区間$-4 \leqq x \leqq 4$における最大値が5であるとする．このとき，$b$の値とこの区間での$f(x)$の最小値$m$を求めよ．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．
\[ S_n=1-(2n^2+n-1)a_n \quad (n \geqq 1) \]
が成り立つとき，次の問に答えよ．

(1)$n \geqq 2$のとき，$a_n$を$a_{n-1}$と$n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{20}\frac{1}{a_n}$を求めよ．

座標平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=2 \cos t,\quad y=\sqrt{3} \sin t \]
で与えられているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)時刻$t$における点Pの速度$\overrightarrow{v}$と速さ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)$\displaystyle f(t)=-2\cos t+\frac{d}{dt}|\overrightarrow{v}|^2$とおく．$0 \leqq t \leqq 2\pi$における$f(t)$の最大値，最小値を求め，そのときの$t$の値を求めよ．
(3)(2)の関数$f(t)$について定積分$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(t)}{|\overrightarrow{v}|^2} \, dt$を求めよ．