「不等号」について
タグ「不等号」の検索結果
（434ページ目：全4604問中4331問～4340問を表示）
国立 新潟大学 2010年 第1問四面体OABCにおいて，$\text{OA}=\text{OB}=\text{OC}=3$，$\text{AB}=\text{BC}=\text{CA}=\sqrt{6}$である．また，点Pは辺ABを$x:1-x$に内分し，点Qは辺OCを$y:1-y$に内分する($0<x<1$，$0<y<1$)．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ x,\ y$で表せ．
(3)2点P，Qの間の距離PQの最小値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ x,\ y$で表せ．
(3)2点P，Qの間の距離PQの最小値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
国立 新潟大学 2010年 第2問次の条件(ア)～(ウ)を満たす数列$\{p_n\}$について考える．
\mon[(ア)] $p_1 \leqq p_2 \leqq \cdots \leqq p_n \leqq \cdots$である．
\mon[(イ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$はどれも自然数である．
\mon[(ウ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$の中にはすべての自然数$k$が現れ，その個数は$k$以上$k+2$以下である．
条件(ア)～(ウ)を満たし，すべての自然数$k$がちょうど$k$個現れる数列
\[ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ \cdots,\ \uebrace{k,\ k,\ \cdots,\ k}^{k個},\ \cdots \]
を$\{a_n\}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)項数5の数列で，数列$\{p_n\}$の初めの5項となり得るものをすべて挙げよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第210項$a_{210}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{i=1}^{50}p_i$のとり得る最小の値を求めよ．
\mon[(ア)] $p_1 \leqq p_2 \leqq \cdots \leqq p_n \leqq \cdots$である．
\mon[(イ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$はどれも自然数である．
\mon[(ウ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$の中にはすべての自然数$k$が現れ，その個数は$k$以上$k+2$以下である．
条件(ア)～(ウ)を満たし，すべての自然数$k$がちょうど$k$個現れる数列
\[ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ \cdots,\ \uebrace{k,\ k,\ \cdots,\ k}^{k個},\ \cdots \]
を$\{a_n\}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)項数5の数列で，数列$\{p_n\}$の初めの5項となり得るものをすべて挙げよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第210項$a_{210}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{i=1}^{50}p_i$のとり得る最小の値を求めよ．
国立 新潟大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)不等式$4 \log_4 x \leqq \log_2 (4-x) +1$を解け．
(2)(1)で求めた$x$の範囲において，関数$y=9^x-4 \cdot 3^x+10$の最大値，最小値とそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
(1)不等式$4 \log_4 x \leqq \log_2 (4-x) +1$を解け．
(2)(1)で求めた$x$の範囲において，関数$y=9^x-4 \cdot 3^x+10$の最大値，最小値とそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
国立 新潟大学 2010年 第2問座標平面上の放物線$y=(x+1)(x-3)$を$C$とする．$x$座標が$p,\ q$である$C$上の点P，Qにおける$C$の2つの接線が点A$(a,\ -7)$で交わり，2点P，Qを通る直線の傾きは2である．ただし，$p<q$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a$の値と点Pと点Qの座標をそれぞれ求めよ．
(2)$C$および3つの直線$x=p,\ x=q,\ y=-7$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$a$の値と点Pと点Qの座標をそれぞれ求めよ．
(2)$C$および3つの直線$x=p,\ x=q,\ y=-7$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 茨城大学 2010年 第4問自然数$m,\ n$に対して，$m=qn+r, 0 \leqq r<n$となる整数$q$と$r$をそれぞれ$m$を$n$で割ったときの商と余りという．ここでは$m$を$n$で割ったときの余り$r$を$m\,@\,n$で表すことにする．$a,\ b,\ c$を自然数とするとき，次の各問に答えよ．
(1)$1^2\,@\,3, 2^2\,@\,3, 3^2\,@\,3$を求め，$a>3$に対して$a^2\,@\,3$を求めよ．
(2)$(a+b)\,@\,c=\{(a\,@\,c)+(b\,@\,c)\}\,@\,c$となることを示せ．
(3)$a^2+b^2=c^2$のとき$a,\ b$の少なくともひとつは3の倍数であることを示せ．
(1)$1^2\,@\,3, 2^2\,@\,3, 3^2\,@\,3$を求め，$a>3$に対して$a^2\,@\,3$を求めよ．
(2)$(a+b)\,@\,c=\{(a\,@\,c)+(b\,@\,c)\}\,@\,c$となることを示せ．
(3)$a^2+b^2=c^2$のとき$a,\ b$の少なくともひとつは3の倍数であることを示せ．
国立 山梨大学 2010年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\log_2(x^2-2)-\log_2(2x+1) \leqq 0$を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．
(2)円$(x-2)^2+(y-3)^2=25$上に中心を持ち，$x$軸と$y$軸のいずれにも接する円の方程式をすべて求めよ．
(3)整式$P(x)$は$(x-1)^2$で割ると$5x-7$余り，$x-2$で割ると$10$余る．$P(x)$を$(x-1)^2(x-2)$で割ったときの余りを求めよ．
(1)$\log_2(x^2-2)-\log_2(2x+1) \leqq 0$を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．
(2)円$(x-2)^2+(y-3)^2=25$上に中心を持ち，$x$軸と$y$軸のいずれにも接する円の方程式をすべて求めよ．
(3)整式$P(x)$は$(x-1)^2$で割ると$5x-7$余り，$x-2$で割ると$10$余る．$P(x)$を$(x-1)^2(x-2)$で割ったときの余りを求めよ．
国立 山梨大学 2010年 第2問$y=x^2$を平行移動してできる放物線$C$は点$\mathrm{Q}(1,\ 1)$を通り，その軸の方程式は$x=p$で，$p<1$であるとする．点$\mathrm{Q}$における放物線$C$の接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}$において$\ell_1$に直交する直線を$\ell_2$とし，$\ell_1$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．また，点$\mathrm{Q}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{q}=(1,\ 1)$で表し，直線$\ell_1,\ \ell_2$の方向ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}=(1,\ m),\ \overrightarrow{b}=(1,\ n)$とする．
(1)放物線$C$の方程式を$p$を使って表せ．
(2)$m$および$n$をそれぞれ$p$で表せ．
(3)$\triangle \mathrm{QAB}$の内部および周上の点を表す位置ベクトルを，実数$s,\ t$を用いて$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{q}+s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$と表すとき，点$(s,\ t)$の存在する領域を図示せよ．
(1)放物線$C$の方程式を$p$を使って表せ．
(2)$m$および$n$をそれぞれ$p$で表せ．
(3)$\triangle \mathrm{QAB}$の内部および周上の点を表す位置ベクトルを，実数$s,\ t$を用いて$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{q}+s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$と表すとき，点$(s,\ t)$の存在する領域を図示せよ．
国立 新潟大学 2010年 第3問次の条件(ア)～(ウ)を満たす数列$\{p_n\}$について考える．
\mon[(ア)] $p_1 \leqq p_2 \leqq \cdots \leqq p_n \leqq \cdots$である．
\mon[(イ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$はどれも自然数である．
\mon[(ウ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$の中にはすべての自然数$k$が現れ，その個数は$k$以上$k+2$以下である．
条件(ア)～(ウ)を満たし，すべての自然数$k$がちょうど$k$個現れる数列
\[ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ \cdots,\ \uebrace{k,\ k,\ \cdots,\ k}^{k個},\ \cdots \]
を$\{a_n\}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)項数5の数列で，数列$\{p_n\}$の初めの5項となり得るものをすべて挙げよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第210項$a_{210}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{i=1}^{50}p_i$のとり得る最小の値を求めよ．
\mon[(ア)] $p_1 \leqq p_2 \leqq \cdots \leqq p_n \leqq \cdots$である．
\mon[(イ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$はどれも自然数である．
\mon[(ウ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$の中にはすべての自然数$k$が現れ，その個数は$k$以上$k+2$以下である．
条件(ア)～(ウ)を満たし，すべての自然数$k$がちょうど$k$個現れる数列
\[ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ \cdots,\ \uebrace{k,\ k,\ \cdots,\ k}^{k個},\ \cdots \]
を$\{a_n\}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)項数5の数列で，数列$\{p_n\}$の初めの5項となり得るものをすべて挙げよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第210項$a_{210}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{i=1}^{50}p_i$のとり得る最小の値を求めよ．
国立 徳島大学 2010年 第4問数列$\{a_n\}$が$\displaystyle a_1=2,\ a_{n+1}=\frac{a_n+2}{a_n+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められるとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_n>1$を示せ．
(2)$\displaystyle |a_{n+1}-\sqrt{2}| \leqq \frac{\sqrt{2}-1}{2}|a_n-\sqrt{2}|$を示せ．
(3)数列$\{a_n\}$の極限値を求めよ．
(1)$a_n>1$を示せ．
(2)$\displaystyle |a_{n+1}-\sqrt{2}| \leqq \frac{\sqrt{2}-1}{2}|a_n-\sqrt{2}|$を示せ．
(3)数列$\{a_n\}$の極限値を求めよ．
国立 大阪教育大学 2010年 第4問点Pは数直線上の原点から出発して，「確率$p$で$+1$，確率$1-p$で$+2$」の移動を繰り返す．ただし$0 \leqq p \leqq 1$とする．このような移動を繰り返して自然数$n$の点に到達する確率を$p_n$と表す．次の問に答えよ．
(1)$p_1,\ p_2,\ p_3$を$p$を用いて表せ．
(2)$p_n,\ p_{n+1},\ p_{n+2}$の間の関係式を求めよ．
(3)$a_n=p_{n+1}-p_n \ (n \geqq 1)$とおくとき，数列$\{a_n\}$が満たす漸化式を求めよ．
(4)$p$と$n$を用いて，一般項$p_n$を表せ．
(5)数列$\{p_n\}$の極限を調べよ．
(1)$p_1,\ p_2,\ p_3$を$p$を用いて表せ．
(2)$p_n,\ p_{n+1},\ p_{n+2}$の間の関係式を求めよ．
(3)$a_n=p_{n+1}-p_n \ (n \geqq 1)$とおくとき，数列$\{a_n\}$が満たす漸化式を求めよ．
(4)$p$と$n$を用いて，一般項$p_n$を表せ．
(5)数列$\{p_n\}$の極限を調べよ．