次の問に答えよ．

(1)$e^x-1-xe^{\frac{\pi}{2}}>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$x \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{e^x-1}{x}$と$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}$の大小を調べよ．
(3)$p$を$0<p<1$である定数とする．$x>0, x \neq 1$のとき$\displaystyle \frac{x^p-1}{x-1}$と$px^{\frac{p-1}{2}}$の大小を調べよ．

関数$f(x)$は，すべての実数$x$に対して$f(x+2\pi)=f(x)$を満たす連続な関数とし，$\displaystyle \int_0^{2\pi} f(t) \, dt>0$とする．さらに
\[ g(x)=x^3+(3x^2-1) \int_0^\pi f(2t+x) \, dt \]
とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)すべての実数$a$に対して$\displaystyle \int_0^a f(t) \, dt=\int_{2 \pi}^{a+2\pi}f(t) \, dt$が成り立つことを示せ．
(2)すべての実数$a$に対して$\displaystyle \int_a^{a+2\pi} f(t) \, dt=\int_0^{2\pi}f(t) \, dt$が成り立つことを示せ．
(3)関数$g(x)$は3次関数であることを示せ．
(4)関数$g(x)$の極大値と極小値を$\displaystyle c=\int_0^{2\pi}f(t) \, dt$を用いて表せ．
(5)方程式$g(x)=0$の異なる実数解がちょうど2個のとき，$c$の値を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$0<x<1$で，$(\sqrt{2}-1)x+1<\sqrt{1+x}<\sqrt{2}$が成り立つことを示せ．
(2)$0<a<1$に対して定積分$\displaystyle \int_a^1 \sqrt{1-x} \, dx$，$\displaystyle \int_a^1 x\sqrt{1-x} \, dx$を計算せよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{a \to 1-0}\frac{\displaystyle \int_a^1 \sqrt{1-x^2} \, dx}{(1-a)^{\frac{3}{2}}}$を求めよ．

$p$を$0<p<1$を満たす有理数の定数とし，関数$f(x)$を$f(x)=|x|^p$と定める．以下の各問に答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$の概形を描け．
(2)$a$を$0$でない実数の定数とするとき，点$(a,\ f(a))$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．また，接線と$x$軸の交点の$x$座標を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$を次のように定める：$a_1=1$とし，$n \geqq 2$のとき$a_n$を点$(a_{n-1},\ f(a_{n-1}))$における曲線$y=f(x)$の接線と$x$軸との交点の$x$座標とする．このとき一般項$a_n$を$n$と$p$を用いて表せ．
(4)(3)で求めた数列$\{a_n\}$について，点$(a_n,\ f(a_n))$における曲線$y=f(x)$の接線と，$x$軸，および直線$x=a_n$とで囲まれた部分の面積を$T_n$とする．$T_n$を$n$と$p$を用いて表せ．
(5)(4)の$T_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，無限級数$T_1+T_2+T_3+\cdots$が収束する$p$の範囲を求めよ．また，収束するときの無限級数の値を求めよ．

平面上に，点O，Aを$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=1$であるようにとる．Oを中心にAを反時計回りに，$\displaystyle \frac{\pi}{6}$回転させた位置にある点をB，$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた位置にある点をCとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表す．次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle$OABの面積と$\triangle$OBCの面積をそれぞれ求めよ．
(3)直線ACと直線OBとの交点をDとする．また，Bを通って直線ACに平行な直線と，直線OAとの交点をEとする．$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}},\ \overrightarrow{e}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と表す．このとき，$|\overrightarrow{d}|$と$|\overrightarrow{e}|$をそれぞれ求めよ．
(4)次の式を満たす点Pの存在する領域の面積を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{e}+t\overrightarrow{c},\quad (0 \leqq s,\ 0 \leqq t,\ 1 \leqq s+t \leqq 2) \]

自然数$n$に対して，
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x \, dx \]
とおく．次の問に答えよ．

(1)定積分$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ．
(2)次の不等式を証明せよ．
\[ I_n \geqq I_{n+1}\]
(3)次の漸化式が成り立つことを証明せよ．
\[ I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}I_n \]
(4)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}} \]

$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A},\ \angle \mathrm{B},\ \angle \mathrm{C}$の大きさと対辺の長さをそれぞれ$A,\ B,\ C$および$a,\ b,\ c$で表す．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$とし，$3$頂点を通る円の半径を$R$とする．$a \geqq b \geqq c$とするとき以下の各問に答えよ．

(1)$\sin A \geqq \sin B \geqq \sin C$を示せ．
(2)$S=2R^2 \sin A \sin B \sin C$を示せ．
(3)$\displaystyle \frac{a^2}{S},\ \frac{b^2}{S},\ \frac{c^2}{S}$のそれぞれを$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A},\ \frac{\cos B}{\sin B},\ \frac{\cos C}{\sin C}$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A} \leqq \frac{\cos B}{\sin B} \leqq \frac{\cos C}{\sin C}$を示せ．
(5)$A \geqq B \geqq C$を示せ．
(6)$\displaystyle \frac{a^2}{S} \geqq \frac{4}{\sqrt{3}}$を示せ．
(7)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であるためには$\displaystyle \frac{a^2}{S} = \frac{4}{\sqrt{3}}$であることが必要十分であることを示せ．

$\triangle$ABCにおいて$\angle \text{A},\ \angle \text{B},\ \angle \text{C}$の大きさと対辺の長さをそれぞれ$A,\ B,\ C$および$a,\ b,\ c$で表す．$\triangle$ABCの面積を$S$とするとき，以下の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\sin A}{\sin B \sin C}=\frac{\cos B}{\sin B}+\frac{\cos C}{\sin C}$を示せ．
(2)$\displaystyle \sin A,\ \sin B,\ \sin C,\ \frac{\sin A}{\sin B \sin C}$を$a,\ b,\ c,\ S$で表せ．
(3)$a \geqq b \geqq c$ならば，$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A} \leqq \frac{\cos B}{\sin B} \leqq \frac{\cos C}{\sin C}$となることを示せ．

$f(x)=9^x-2 \cdot 3^{x+1}-7$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)$f(x) \leqq 0$となる実数$x$の範囲を求めよ．
(2)$(x^2-4)f(x) \leqq 0$となる実数$x$の範囲を求めよ．

曲線$C:y=x^3+2ax^2+bx$と直線$\ell:y=ax$が$x \geqq 0$で定義されており，原点以外でこれらの曲線$C$と直線$\ell$が接するものとする．次の問いに答えなさい．なお，$a \neq 0$とする．

(1)曲線$C$と直線$\ell$との共有点が二つあることを示し，それらの共有点の座標を求めなさい．また，$a$のとりうる値の範囲を求めなさい．
(2)曲線$C$と直線$\ell$で囲まれる面積を$S_1$，これら二つの共有点と点$(0,\ -1)$からなる三角形の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$となる$a$の値を求めなさい．