$n$を自然数とし，$x$を変数とする関数
\[ f_n(x)=(nx+n+1)e^x,\quad g_n(x)=(nx+n-1)e^{-x} \]
を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$f_n(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$g_n(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)$x$軸と$y$軸および曲線$y=f_n(x)$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(4)$x$軸と$y$軸および曲線$y=g_n(x)$で囲まれた図形の面積$T_n$を求めよ．ただし，$n \geqq 2$とする．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{T_n}{S_n}$を求めよ．

座標平面上を運動する動点P$(x,\ y)$が時刻$t$の関数として
\[ x=t \cos \alpha,\quad y=t \sin \alpha-t^2 \]
で与えられているとする．ただし，$\alpha$は$0 \leqq \alpha < 2\pi$を満たす定数とする．直線$y=x$を$\ell$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)時刻$t=0$における動点Pの速度$\overrightarrow{v}$とその大きさ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)Pが直線$\ell$上の点を通る時刻$t$をすべて求めよ．
(3)正の時刻においてPが$\ell$上の点を通るための$\alpha$の範囲を求めよ．

以下では，$\alpha$は(3)で求めた範囲にあるとする．

\mon[(4)] 正の時刻においてPが通る$\ell$上の点の$x$座標を求めよ．
\mon[(5)] (4)で求めた$\ell$上の点の$x$座標を$f(\alpha)$とし，$\alpha$を(3)で求めた範囲で変化させる．$f(\alpha)$の最大値，最小値を求め，それらを与える$\alpha$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)座標空間内の点A$(0,\ 1,\ 0)$，B$(0,\ -1,\ 0)$に対して，ABCDが正四面体となるような$xy$平面の$x>0$の部分にある点Cと空間内の$z>0$の部分にある点Dの座標をそれぞれ求めよ．
(2)$\triangle$ABCの重心をEとする．線分DEを$3:1$に内分する点Gの座標を求めよ．
(3)$\angle \text{AGD}=\alpha$とするとき，$\cos \alpha$の値を求めよ．
(4)$\triangle$AGDの面積を求めよ．

座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，$2$点$\mathrm{A}(2,\ -1,\ 4)$，$\mathrm{B}(k,\ -k,\ 2)$について，線分$\mathrm{AB}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数で$k>0$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$k$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OP}$が直交するとき，$k$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた$k$について，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

関数$f(x)$を，$x \leqq 1$のとき$f(x)=x^2$と定め，$x>1$のとき$f(x)=2x-1$と定める．さらに，実数$t$に対して
\[ g(t) = \int_t^{t+3} f(x) \, dx \]
と定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)$g(0)$を求めよ．
(2)$g(t)$を$t$の式で表せ．
(3)関数$g(t)$の$-3 \leqq t \leqq 3$における最大値，最小値を求めよ．

座標平面上に，点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円と点$\mathrm{P}(0,\ h) \ (0<h<2)$がある．点$\mathrm{P}$を通る直線$y=h$と円との交点で第$1$象限にあるものを$\mathrm{Q}$とする．曲線$C:y=\alpha x^2$は点$\mathrm{Q}$を通るとし，$y$軸と曲線$C$および線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分を図形$\mathrm{A}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\alpha$を$h$を用いて表せ．
(2)図形$\mathrm{A}$の面積$S$を$h$の式で表し，$S$の最大値を求めよ．
(3)図形$\mathrm{A}$を$y$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を$h$の式で表し，$V$の最大値を求めよ．
(4)$S,\ V$は，それぞれ(2)，(3)で求めたものとする．$\displaystyle X=\frac{V}{2\pi S}$とおくとき，$X$の最大値を求めよ．

点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1)$がある．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)実数$s,\ t$によって，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定められる点$\mathrm{P}$を考える．$s,\ t$が$s+2t \leqq 2$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在する範囲を求めよ．さらに，その範囲が表す図形を図示せよ．
(2)実数$u$によって，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-u)\overrightarrow{\mathrm{QA}}+2u\overrightarrow{\mathrm{QB}}$で定められる点$\mathrm{Q}$を考える．$u$が$0 \leqq u \leqq 1$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{Q}$の存在する範囲を求めよ．さらに，その範囲が表す図形を図示せよ．
(3)(1)で得られた図形が，(2)で得られた図形によって$2$つの図形に分割される．この$2$つの図形の面積をそれぞれ$S,\ T (S \leqq T)$とおくとき，$\displaystyle \frac{S}{T}$の値を求めよ．

曲線$C:y =(x-3)\sqrt{x} (x>0)$の法線を考える．ただし，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における法線とは，点$\mathrm{P}$を通り，この曲線上の点$\mathrm{P}$における接線に垂直に交わる直線のことである．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)関数$y=(x-3)\sqrt{x} (x>0)$の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)曲線$C$上の点$(t,\ (t-3)\sqrt{t})$における法線の方程式を求めよ．
(3)$a$を正の定数とするとき，点$(a,\ 0)$を通る法線の本数を調べよ．

$n$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int \pi (x+\pi) \sin \pi x \, dx$を求めよ．
(2)下の図のように，曲線$y = \pi(x+ \pi) \sin \pi x \ (0 \leqq x \leqq 2n-1)$と$x$軸とで囲まれた図形の$x$軸より上側にある部分を，原点側から順にP$_1$，P$_2$，P$_3$，$\cdots$，P$_n$と分けるとき，図形P$_k$の面積$S_k \ (k = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を$k$の式で表せ．
（図は省略）
(3)(2)の$S_k$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^n S_k$を$n$の式で表せ．

数列$\{a(n)\}$を$a(1)=1$および$n \geqq 1$に対して
\[ \left\{
\begin{array}{l}
a(2n) = 3a(n) \\
a(2n+1)=2a(n)+a(n+1)
\end{array}
\right. \]
で定義する．以下の問いに答えよ．

(1)$a(2),\ a(3),\ a(4),\ a(5)$を求めよ．

次に数列$\{b(n)\}$を$b(1)=a(1)$および$n \geqq 2$に対して
\[ b(n)=a(n)-a(n-1) \]
で定義する．

\mon[(2)] $b(2),\ b(3),\ b(4),\ b(5)$を求めよ．
\mon[(3)] すべての自然数$n$に対して，
\[ \left\{
\begin{array}{l}
b(2n) = 2b(n) \\
b(2n+1)=b(n+1)
\end{array}
\right. \]
が成り立つことを証明せよ．
\mon[(4)] 自然数$k$に対して$b(2^k)$および$b(2^k+1)$を計算せよ．
\mon[(5)] 自然数$k$に対して$a(2^k-1)$を計算せよ．