「不等号」について
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国立 群馬大学 2010年 第5問座標平面における4分の1円：$x^2+y^2 \leqq 1 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$を，原点を通り$x$軸の正の向きと$\theta$の角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V(\theta)$とおく．
(1)$\displaystyle V(0),\ V \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$V(\theta)$を求めよ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$V(\theta)$が最小となる$\theta$を求めよ．
(1)$\displaystyle V(0),\ V \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$V(\theta)$を求めよ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$V(\theta)$が最小となる$\theta$を求めよ．
国立 群馬大学 2010年 第4問$\triangle$OABにおいて辺OAを$1:2$に内分する点をP，線分PBを$s:1-s$に内分する点をQとする．ただし，$0<s<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ s$を用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを$3:4$に内分するときの$s$の値を求めよ．
(3)$\triangle$OABを$\text{OA}=\text{OB}$の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときの$s$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ s$を用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを$3:4$に内分するときの$s$の値を求めよ．
(3)$\triangle$OABを$\text{OA}=\text{OB}$の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときの$s$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2010年 第5問座標平面における4分の1円：$x^2+y^2 \leqq 1 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$を，原点を通り$x$軸の正の向きと$\theta$の角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V(\theta)$とおく．
(1)$\displaystyle V(0),\ V \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$V(\theta)$を求めよ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$V(\theta)$が最小となる$\theta$を求めよ．
(1)$\displaystyle V(0),\ V \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$V(\theta)$を求めよ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$V(\theta)$が最小となる$\theta$を求めよ．
国立 山形大学 2010年 第3問放物線$C:y=-x^2+1$と直線$\ell:y=a$がある．ただし，$0<a<1$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S$とする．このとき，$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle S=\frac{\sqrt{2}}{3}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$y=|-x^2+1|$のグラフを描け．
(5)$\displaystyle S=\frac{\sqrt{2}}{3}$のとき，曲線$y=|-x^2+1|$と$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S$とする．このとき，$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle S=\frac{\sqrt{2}}{3}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$y=|-x^2+1|$のグラフを描け．
(5)$\displaystyle S=\frac{\sqrt{2}}{3}$のとき，曲線$y=|-x^2+1|$と$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 群馬大学 2010年 第5問座標平面における4分の1円：$x^2+y^2 \leqq 1 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$を，原点を通り$x$軸の正の向きと$\theta$の角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V(\theta)$とおく．
(1)$\displaystyle V(0),\ V \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$V(\theta)$を求めよ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$V(\theta)$が最小となる$\theta$を求めよ．
(1)$\displaystyle V(0),\ V \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$V(\theta)$を求めよ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$V(\theta)$が最小となる$\theta$を求めよ．
国立 防衛大学校 2010年 第2問関数$\displaystyle f(x)=\frac{a(-3x^2+x+4)-7b(x-2)}{3x^3-7x^2-2x+8}$について，次の問に答えよ．ただし，$a,\ b$は0でない定数とする．
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{3x-4} \ (A,\ B,\ C \text{は定数})$となるとき，$A,\ B,\ C$を$a$と$b$の式で表せ．
(2)$2a+7b=0$のとき，$f(x)=0$の解$x_1,\ x_2 \ (x_1<x_2)$を求めよ．
(3)(2)において$a=7$とするとき，定積分$\displaystyle I=\int_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx$を求めよ．
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{3x-4} \ (A,\ B,\ C \text{は定数})$となるとき，$A,\ B,\ C$を$a$と$b$の式で表せ．
(2)$2a+7b=0$のとき，$f(x)=0$の解$x_1,\ x_2 \ (x_1<x_2)$を求めよ．
(3)(2)において$a=7$とするとき，定積分$\displaystyle I=\int_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx$を求めよ．
国立 防衛大学校 2010年 第3問関数$f(x)=x^3-3x^2+3ax+b \ (a,\ b \text{は定数})$について，次の問に答えよ．
(1)$f(x)$が極値を持つような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値の差が32となるとき，$a$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた$a$の値に対し，$f(x)$の区間$-4 \leqq x \leqq 4$における最大値が5であるとする．このとき，$b$の値とこの区間での$f(x)$の最小値$m$を求めよ．
(1)$f(x)$が極値を持つような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値の差が32となるとき，$a$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた$a$の値に対し，$f(x)$の区間$-4 \leqq x \leqq 4$における最大値が5であるとする．このとき，$b$の値とこの区間での$f(x)$の最小値$m$を求めよ．
国立 防衛大学校 2010年 第4問数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．
\[ S_n=1-(2n^2+n-1)a_n \quad (n \geqq 1) \]
が成り立つとき，次の問に答えよ．
(1)$n \geqq 2$のとき，$a_n$を$a_{n-1}$と$n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{20}\frac{1}{a_n}$を求めよ．
\[ S_n=1-(2n^2+n-1)a_n \quad (n \geqq 1) \]
が成り立つとき，次の問に答えよ．
(1)$n \geqq 2$のとき，$a_n$を$a_{n-1}$と$n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{20}\frac{1}{a_n}$を求めよ．
国立 山形大学 2010年 第3問次の問に答えよ．
(1)$e^x-1-xe^{\frac{\pi}{2}}>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$x \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{e^x-1}{x}$と$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}$の大小を調べよ．
(3)$p$を$0<p<1$である定数とする．$x>0, x \neq 1$のとき$\displaystyle \frac{x^p-1}{x-1}$と$px^{\frac{p-1}{2}}$の大小を調べよ．
(1)$e^x-1-xe^{\frac{\pi}{2}}>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$x \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{e^x-1}{x}$と$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}$の大小を調べよ．
(3)$p$を$0<p<1$である定数とする．$x>0, x \neq 1$のとき$\displaystyle \frac{x^p-1}{x-1}$と$px^{\frac{p-1}{2}}$の大小を調べよ．
国立 防衛医科大学校 2010年 第1問$1$から$n$までの数字が$1$つずつ書かれた合計$n$枚のカードからランダムに$1$枚取り出して，書かれた数字を記録し，カードを元に戻す．この操作を$k$回繰り返したとき，記録された$k$個の数字の最大値を$X$とする(例えば$k=3$の場合で，記録された数字が$(5,\ 1,\ 2)$，$(3,\ 5,\ 5)$あるいは$(5,\ 5,\ 5)$のとき，$X=5$となる)．このとき，以下の問に答えよ．
(1)$n=4,\ k=3$とすると，$P(X=2)$はいくらになるか．
(2)$n=4,\ k=3$としたときの$X$の期待値を求めよ．
(3)$k=3$としたときの$X$の期待値を，$n$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{A}$君は$k=1$として上の試行を行い，値$X_A$を得るものとする．$\mathrm{B}$君は$k=a \ $($a$は1以上の整数)として上の試行を行い，値$X_B$を得るものとする．このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P(X_A \geqq X_B)$を求めよ．
(1)$n=4,\ k=3$とすると，$P(X=2)$はいくらになるか．
(2)$n=4,\ k=3$としたときの$X$の期待値を求めよ．
(3)$k=3$としたときの$X$の期待値を，$n$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{A}$君は$k=1$として上の試行を行い，値$X_A$を得るものとする．$\mathrm{B}$君は$k=a \ $($a$は1以上の整数)として上の試行を行い，値$X_B$を得るものとする．このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P(X_A \geqq X_B)$を求めよ．