$b$と$d$で実数の定数を表す．次の条件$(*)$を考える．
\[ (*) \quad \text{すべての正の実数}x \text{に対して} \frac{x+b}{x^3+1}< \frac{x+2b+d}{x^3+2} \text{である．} \]
以下の問に答えよ．

(1)$b+d>0$は，$(*)$が成立するための必要条件であることを示せ．
(2)$d>0$は，$(*)$が成立するための必要条件であることを示せ．
(3)$d$を任意の正の実数とする．$(*)$が成立するための必要十分条件として，$b$が満たすべき範囲を$d$を用いて表せ．

$xy$平面上で曲線$C:y=\log x$を考える．$p$を正の実数とし，$C$上の点$(p,\ \log p)$における接線を$\ell_p$で表す．以下の問に答えよ．

(1)接線$\ell_p$の方程式を求めよ．
(2)$0<p<1$の範囲で$p$を変化させたとき，接線$\ell_p$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積の最大値を求めよ．
(3)$0<p<1$とする．接線$\ell_p$と$x$軸，曲線$C$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ．

$a>0$とする．曲線$y=\log x$と直線$y=x$および2直線$x=a,\ x=a+1$で囲まれた部分の面積を$S$とする．

(1)$x>0$のとき，$x > \log x$であることを示せ．
(2)$S$を$a$で表せ．
(3)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$S$の最小値を求めよ．

$a>0$とする．曲線$y=\log x$と直線$y=x$および2直線$x=a,\ x=a+1$で囲まれた部分の面積を$S$とする．

(1)$x>0$のとき，$x > \log x$であることを示せ．
(2)$S$を$a$で表せ．
(3)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$S$の最小値を求めよ．

数列$\{a_n\}$が$\displaystyle a_1=1,\ a_{n+1}=\frac{1}{2}\left( a_n+\frac{3}{a_n} \right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0<a_2-\sqrt{3}<\frac{1}{2}$を示せ．
(2)$n$が2以上の自然数であるとき，不等式$\displaystyle 0<a_n-\sqrt{3}< \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$を数学的帰納法によって証明せよ．
(3)数列$\{a_n\}$の極限値を求めよ．

$a,\ p$を実数とし$a$は$|\,a\,| \leqq 1$を満たすものとする．
\[ f(x) = \left\{
\begin{array}{l}
-x^2+3 \quad (x \leqq a) \\
-a^2+3 \quad (x>a)
\end{array}
\right. \]
とし，$C$を$y=f(x)$で定まるグラフとする．また$\ell$を$y=px+p+2$で定まる直線とする．

(1)直線$\ell$は$p$によらず，定点を通ることを示せ．また$\ell$が放物線$y=-x^2+3$に接するような$p$を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が相異なる2点のみを共有するような$p$の範囲を求め，さらにその共有点の$x$座標を求めよ．

$a,\ p$を実数とし$a$は$|\,a\,| \leqq 1$を満たすものとする．
\[ f(x) = \left\{
\begin{array}{l}
-x^2+3 \quad (x \leqq a) \\
-a^2+3 \quad (x>a)
\end{array}
\right. \]
とし，$C$を$y=f(x)$で定まるグラフとする．また$\ell$を$y=px+p+2$で定まる直線とする．

(1)直線$\ell$は$p$によらず，定点を通ることを示せ．また$\ell$が放物線$y=-x^2+3$に接するような$p$を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が相異なる2点のみを共有するような$p$の範囲を求め，さらにその共有点の$x$座標を求めよ．

$a,\ p$を実数とし$a$は$|\,a\,| \leqq 1$を満たすものとする．
\[ f(x) = \left\{
\begin{array}{l}
-x^2+3 \quad (x \leqq a) \\
-a^2+3 \quad (x>a)
\end{array}
\right. \]
とし，$C$を$y=f(x)$で定まるグラフとする．また$\ell$を$y=px+p+2$で定まる直線とする．

(1)直線$\ell$は$p$によらず，定点を通ることを示せ．また$\ell$が放物線$y=-x^2+3$に接するような$p$を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が相異なる2点のみを共有するような$p$の範囲を求め，さらにその共有点の$x$座標を求めよ．

$a,\ p$を実数とし$a$は$|\,a\,| \leqq 1$を満たすものとする．
\[ f(x) = \left\{
\begin{array}{l}
-x^2+3 \quad (x \leqq a) \\
-a^2+3 \quad (x>a)
\end{array}
\right. \]
とし，$C$を$y=f(x)$で定まるグラフとする．また$\ell$を$y=px+p+2$で定まる直線とする．

(1)直線$\ell$は$p$によらず，定点を通ることを示せ．また$\ell$が放物線$y=-x^2+3$に接するような$p$を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が相異なる2点のみを共有するような$p$の範囲を求め，さらにその共有点の$x$座標を求めよ．

$k$は正の定数とし，$f(x)=e^{k \sin x}\cos x$とする．曲線$C$を，$y=f(x)$のグラフの$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$に対応する部分とする．

(1)$t$の関数$g(t)$は，$f^{\prime}(x)=e^{k \sin x}g(\sin x)$を満たすものとする．このとき$g(t)$を求め，さらに$-1 \leqq t \leqq 1$の範囲における$g(t)=0$の解を求めよ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において$f(x)$が最大となるときの$f(x)^2$の値を求めよ．
(3)曲線$C$と$x$軸に囲まれた部分の面積を求めよ．