次の問いに答えよ．

(1)次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
4x^2-4x-15<0 \\
x^2-2x \geqq 0
\end{array}
\right. \]
(2)鈍角三角形ABCにおいて，$\text{BC}=1,\ \text{CA}=\sqrt{3},\ \angle \text{A}=30^\circ$であるとき，ABの長さを求めよ．
(3)原点O，および3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．$0<s<1$に対して，線分AB，線分CAを$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(4)方程式$\displaystyle \left( \log_2\sqrt{x}+\log_2x^2+\log_2\frac{1}{x} \right)^2=9$を解け．
(5)数列$1,\ a,\ b,\ c$はこの順に等差数列であり，数列$a,\ b,\ 1,\ c$はこの順に等比数列であるとする．このとき，$c=1$であることを示せ．

実数$a$は$0 \leqq a \leqq 4$を満たす．このとき，関数$f(x)=x(x-4),\ g(x)=a(x-4)$に対して，$\displaystyle \int_0^4 \bigl|f(x)-g(x) \bigr| \, dx$を最小にする$a$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$-\pi \leqq x < \pi$とする．さらに$x$が$\cos x-\cos 2x \geqq 0$を満たすとき，$\sin x +\sqrt{3}\cos x$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$x$が$\log_2 x+\log_2 (6-x) \geqq 0$を満たすとき，$\log_2 (1+x)+\log_2 (7-x)$のとりうる値の範囲を求めよ．

3次式$x^3-7x^2+15x+b$を1次式$x-a$で割ったときの商が$f(x)$で，余りが5であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$で，放物線$y=f(x)$の頂点が直線$y=x-a$の上にあるとき，$f(x)$を求めよ．

$a \geqq 0$とする．円$C_1:x^2+y^2=1$と円$C_2:x^2+y^2-10x+20-a=0$について，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$上の点Pと$C_2$上の点Qとの距離PQの最小値を$a$を用いて表せ．
(2)$a=11$のとき，2つの円$C_1$と$C_2$の共通接線をすべて求めよ．

$3$次式$x^3-7x^2+15x+b$を$1$次式$x-a$で割ったときの商が$f(x)$で，余りが$5$であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$で，放物線$y=f(x)$の頂点が直線$y=x-a$の上にあるとき，$f(x)$を求めよ．

双曲線$x^2-y^2=1$の$x>0$の部分を$C$とする．$a$を正の定数とし，点P$\displaystyle (0,\ \frac{2}{a})$に最も近い$C$上の点をQとする．また，点R$(0,\ -a)$を通る直線が点Sで$C$に接している．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点Qの座標および直線PQの傾きを$a$を用いて表せ．
(2)点Sの座標および直線RSの傾きを$a$を用いて表せ．
(3)3点P，Q，Rを通る円の直径を$a$を用いて表せ．

$0 \leqq t \leqq 1$をみたす$t$に対し，$\sin x=t$となる$x$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$x$を$f(t)$と表すことにする．さらに，$t$の関数$g(t)$を
\[ g(t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx - 2tf(t)+\frac{3}{2}\pi t \]
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx$を，$t$と$f(t)$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を，$f(t)$を含まない式で表せ．
(3)$g(t)$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を求めよ．

袋の中に白球が$m$個，黒球が$n$個入っている．ただし，$m,\ n$はともに正の整数とする．この袋から球を1個取り出し，その色を確かめてから袋に戻す．この試行をもう一度くり返す．以下の問いに答えよ．

(1)白球が2回取り出される確率を$m$と$n$の式で表せ．
(2)異なる色の球が取り出される確率を$P$とする．$P$を$m$と$n$の式で表せ．
(3)(2)の$P$について，$\displaystyle P \leqq \frac{1}{2}$であることを示せ．
(4)(2)の$P$に対して$\displaystyle P=\frac{24}{49}$となるとき，$\displaystyle \frac{n}{m}$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$を初項1，公差$\displaystyle \frac{2}{7}$の等差数列とするとき，次の問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$および初項から第$n$項までの和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を$n$を用いて表せ．
(2)実数$x$に対して，$m \leqq x$をみたす最大の整数$m$を$[\,x\,]$で表す．数列$\{b_n\}$を$b_n=[\,a_n\,]$で定めるとき，$b_7,\ b_{14},\ b_{15}$を求めよ．
(3)(2)で定めた数列$\{b_n\}$について，$b_{100}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} b_k$を求めよ．