次の問いに答えよ．

(1)$-\pi \leqq x < \pi$とする．さらに$x$が$\cos x-\cos 2x \geqq 0$を満たすとき，$\sin x +\sqrt{3}\cos x$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$x$が$\log_2 x+\log_2 (6-x) \geqq 0$を満たすとき，$\log_2 (1+x)+\log_2 (7-x)$のとりうる値の範囲を求めよ．

$2$曲線$y=x^2,\ y=2\sqrt{2x}$で囲まれた図形$D$について，次の問いに答えよ．

(1)図形$D$の面積を求めよ．
(2)図形$D$は直線$y=2$によって二つの図形に分けられる．このとき，それぞれの図形の面積$S_1,\ S_2$を求めよ．ただし，$S_1>S_2$とする．
(3)図形$D$の面積が直線$x=a$によって二等分されるとき，$a^3$の値を求めよ．

三角形OABにおいて，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，点CとDを$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=2\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=3\overrightarrow{b}$によりそれぞれ定める．また，線分ADとBCの交点をEとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\text{AE}:\text{AD}=t:1 \ (0<t<1)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\text{BE}:\text{BC}=s:1 \ (0<s<1)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)(1)と(2)を利用することにより，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)OE，AB，CDの中点をそれぞれP，Q，Rとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(5)$\displaystyle \frac{\text{PR}}{\text{PQ}}$の値を求めよ．

曲線$y=-x^2+3x$について，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$y=-x^2+3x$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
(2)$a$を$0<a<3$をみたす定数とする．このとき，直線$y=ax$と曲線$y=-x^2+3x$との交点の$x$座標を求めよ．
(3)(1)の図形の面積を二等分する原点を通る直線を求めよ．

点Oを原点とする座標平面上に，2点A$(1,\ 0)$，B$(\cos \theta,\ \sin \theta) \ (90^\circ<\theta<180^\circ)$をとり，以下の条件をみたす2点C，Dを考える．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=0, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=0, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=1 \]
また，$\triangle$OABの面積を$S_1$，$\triangle$OCDの面積を$S_2$とおく．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}$の成分を求めよ．
(2)$S_2=2S_1$が成り立つとき，$\theta$と$S_1$の値を求めよ．
(3)$S=4S_1+3S_2$を最小にする$\theta$と，そのときの$S$の値を求めよ．

直線$\ell:mx+ny=1$が，楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b>0)$に接しながら動くとする．

(1)点$(m,\ n)$の軌跡は楕円になることを示せ．
(2)$C$の焦点$F_1(-\sqrt{a^2-b^2},\ 0)$と$\ell$との距離を$d_1$とし，もう1つの焦点$F_2(\sqrt{a^2-b^2},\ 0)$と$\ell$との距離を$d_2$とする．このとき$d_1d_2=b^2$を示せ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
1 \quad (x \geqq 0) \\
0 \quad (x<0)
\end{array}
\right. \]
により定める．

(1)$a,\ b$は実数とする．$y = ax + b$のグラフと$y = f(x)$のグラフがちょうど2つの交点をもつための$a,\ b$に対する条件を求めよ．
(2)$p,\ q$は実数で$p>0$とする．$y = x^3 + 6px^2 + 9p^2x + q$のグラフと$y = f(x)$のグラフがちょうど4つの交点をもつための$p,\ q$に対する条件を求め，$pq$平面上に図示せよ．

はじめに，Aが赤玉を1個，Bが白玉を1個，Cが青玉を1個持っている．表裏の出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の硬貨を投げ，表が出ればAとBの玉を交換し，裏が出ればBとCの玉を交換する，という操作を考える．この操作を$n$回$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$くり返した後にA，B，Cが赤玉を持っている確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$とおく．

(1)$a_1,\ b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$で表せ．
(3)$n$が奇数ならば$a_n=b_n>c_n$が成り立ち，$n$が偶数ならば$a_n>b_n = c_n$が成り立つことを示せ．
(4)$b_n$を求めよ．

次の問いに答えよ．ただし，$\log$は自然対数とする．

(1)$0<x<1$なる実数$x$に対して，不等式
\[ \log \frac{1+x}{1-x}<2x+\frac{2}{3} \cdot \frac{x^3}{1-x^2} \]
が成り立つことを示せ．
(2)不等式$\displaystyle \log 2< \frac{25}{36}$が成り立つことを示せ．

放物線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x^2$を$C_1$とし，円$x^2+y^2=1$の$y \geqq 0$を満たす部分を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$の交点をP，Qとし，原点をOとする．

(1)P，Qの座標を求めよ．
(2)扇形OPQの面積を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．