Oを原点とする座標平面上に点A$(-3,\ 0)$をとり，
$0^\circ<\theta<120^\circ$の範囲にある$\theta$に対して，次の条件(i)，(ii)をみたす2点B，Cを考える．

\mon[(i)] Bは$y>0$の部分にあり，$\text{OB}=2$かつ$\angle \text{AOB}=180^\circ-\theta$である．
\mon[(ii)] Cは$y<0$の部分にあり，$\text{OC}=1$かつ$\angle \text{BOC}=120^\circ$である．ただし$\triangle \text{ABC}$はOを含むものとする．

\quad 次の問(1)，(2)に答えよ．

(1)$\triangle \text{OAB}$と$\triangle \text{OAC}$の面積が等しいとき，$\theta$の値を求めよ．
(2)$\theta$を$0^\circ<\theta<120^\circ$の範囲で動かすとき，$\triangle \text{OAB}$と$\triangle \text{OAC}$の面積の和の最大値と，そのときの$\sin \theta$の値を求めよ．

2つの箱LとR，ボール30個，コイン投げで表と裏が等確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で出るコイン1枚を用意する．$x$を0以上30以下の整数とする．Lに$x$個，Rに$30-x$個のボールを入れ，次の操作$(\sharp)$を繰り返す．

\mon[$(\sharp)$] 箱Lに入っているボールの個数を$z$とする．コインを投げ，表が出れば箱Rから箱Lに，裏が出れば箱Lから箱Rに，$K(z)$個のボールを移す．ただし，$0 \leqq z \leqq 15$のとき$K(z)=z$，$16 \leqq z \leqq 30$のとき$K(z)=30-z$とする．

$m$回の操作の後，箱Lのボールの個数が30である確率を$P_m(x)$とする．たとえば$\displaystyle P_1(15)=P_2(15)=\frac{1}{2}$となる．以下の問(1)，(2)に答えよ．

(1)$m \geqq 2$のとき，$x$に対してうまく$y$を選び，$P_m(x)$を$P_{m-1}(y)$で表せ．
(2)$n$を自然数とするとき，$P_{2n}(10)$を求めよ．

$C$を半径1の円周とし，Aを$C$上の1点とする．3点P，Q，RがAを時刻$t=0$に出発し，$C$上を各々一定の速さで，P，Qは反時計回りに，Rは時計回りに，時刻$t=2\pi$まで動く．P，Q，Rの速さは，それぞれ$m$，1，2であるとする．（したがって，Qは$C$をちょうど一周する．）ただし，$m$は$1\leqq m\leqq10$をみたす整数である．$\triangle$PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ$m$と時刻$t$の組をすべて求めよ．

$xy$平面上の長方形ABCDが次の条件(a)，(b)，(c)を満たしているとする．

\mon[(a)] 対角線ACとBDの交点は原点Oに一致する．
\mon[(b)] 直線ABの傾きは2である．
\mon[(c)] Aの$y$座標は，B，C，Dの$y$座標より大きい．

このとき，$a>0,\ b>0$として，辺ABの長さを$2\sqrt{5}a$，BCの長さを$2\sqrt{5}b$とおく．

(1)A，B，C，Dの座標を$a,\ b$で表せ．
(2)長方形ABCDが領域$x^2+(y-5)^2 \leqq 100$に含まれるための$a,\ b$に対する条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．

$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で関数$f(x)=\cos x \sin^2 x$と$g(x)=\cos^3 x$を考える．次の問に答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．ただし，$f(x)$が極値をとるときの$x$の値は求めなくてよい．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれる図形の面積を求めよ．

次の2つの曲線の両方に接する傾きが正の直線$\ell$が原点を通っているとする．
\begin{eqnarray}
& & y = mx^2+a \quad (m > 0,\ a > 0) \nonumber \\
& & y = nx^2+b \quad (n < 0,\ b < 0) \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．

(1)$m,\ n,\ a,\ b$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)曲線$y = mx^2+a$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，曲線$y = nx^2+b$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を$a,\ b$で表せ．

関数$f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\sin \pi x \phantom{0} \ (0 \leqq x \leqq 1) \\
0 \phantom{\sin \pi x} \ (x<0,\ x>1)
\end{array}
\right.$を用いて，すべての実数$t$に対して，関数$\displaystyle g(t)=\int_0^1 f \left( \frac{t}{3} -x \right)\, dx$を定義する．このとき，$g(t)$と定積分$\displaystyle \int_{-1}^1 g(t) \, dt$を求めよ．

$n$を自然数とし，1から$n$までの自然数の積を$n!$で表す．このとき以下の問いに答えよ．

(1)単調に増加する連続関数$f(x)$に対して，不等式$\displaystyle \int_{k-1}^k f(x) \, dx \leqq f(k)$を示せ．
(2)不等式$\displaystyle \int_1^n \log x\, dx \leqq \log n!$を示し，不等式$n^ne^{1-n} \leqq n!$を導け．
(3)$x \geqq 0$に対して，不等式$x^ne^{1-x} \leqq n!$を示せ．

$a \ (a>0)$を定数とし，$f(x)=2a \log x - (\log x)^2$とする．関数$y = f(x)$のグラフは，$x$軸と点P$_1(x_1,\ 0)$，P$_2(x_2,\ 0) \ (x_1<x_2)$で交わっている．次の問いに答えよ．

(1)$x_1,\ x_2$の値を求めよ．また，$y = f(x)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(2)点P$_1$，P$_2$における$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$の交点の$x$座標を$X(a)$と表すとき，$\displaystyle \lim_{a \to \infty} X(a)$を求めよ．
(3)$a = 1$とするとき，$y = f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x+1}{|x|}$について，次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，$y=f(x)$の極値と漸近線を求め，グラフの概形をかけ．
(2)$x<0$のとき，$y=f(x)$の極値と漸近線を求め，グラフの概形をかけ．