各項が正の実数である数列$\{a_n\}$が，$a_1=1$と関係式
\[ a_{n+1}-a_n=\sqrt{n} \left(1+\frac{1}{a_n+a_{n+1}} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたしている．次の問いに答えよ．

(1)$a_n \geqq \sqrt{n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{k} \leqq \frac{2}{3}(n^{\frac{3}{2}}-1) \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を示せ．
(3)$\displaystyle a_n \leqq \frac{2}{3}n^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}n -\frac{1}{6} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}ax^2$とおく．ただし，$a > 0$とする．

(1)$f(-1) \leqq f(3)$となる$a$の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の極小値が$f(-1)$以下となる$a$の範囲を求めよ．
(3)$-1 \leqq x \leqq 3$における$f(x)$の最小値を$a$を用いて表せ．

3つの曲線
\begin{eqnarray}
& & C_1 : y = \sin x \quad \left( 0 \leqq x < \frac{\pi}{2} \right) \nonumber \\
& & C_2 : y = \cos x \quad \left( 0 \leqq x < \frac{\pi}{2} \right) \nonumber \\
& & C_3 : y = \tan x \quad \left( 0 \leqq x < \frac{\pi}{2} \right) \nonumber
\end{eqnarray}
について以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の交点，$C_2$と$C_3$の交点，$C_3$と$C_1$の交点のそれぞれについて$y$座標を求めよ．
(2)$C_1,\ C_2,\ C_3$によって囲まれる図形の面積を求めよ．

$0 < p < 4$とし，放物線$\displaystyle y =\frac{1}{4}x^2$上の点$\displaystyle \left(p,\ \frac{1}{4}p^2 \right)$を中心にして，半径が$\displaystyle \frac{1}{4}p^2$の円$C$をかく．次に，$m > 0$とし，直線$y = mx$が円$C$に接しているとする．

(1)$m$を$p$の式で表せ．
(2)放物線$\displaystyle y =\frac{1}{4}x^2$と直線$y = mx$によって囲まれる図形の面積が$\displaystyle \frac{1}{3}$のとき，$m$と$p$の値を求めよ．

関数$\displaystyle y = \frac{\cos x}{e^x} \ (x > 0)$の極大値を，大き方から順に
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots \]
とする．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$の和を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)2次方程式$x^2 + (2a-1)x+a^2-3a-4 = 0$が少なくとも1つ正の解をもつような実数の定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)不等式$|2 \sin (x+y)| \geqq 1$の表す点$(x,\ y)$の領域を，$0 \leqq x \leqq \pi,\ 0 \leqq y \leqq \pi$の範囲で図示せよ．
(3)座標平面上に3点A$(2,\ 5)$，B$(1,\ 3)$，P$_1(5,\ 1)$をとる．まず，点P$_1$と点Aの中点をQ$_1$，点Q$_1$と点Bの中点をP$_2$とする．次に，点 P$_2$と点Aの中点をQ$_2$，点Q$_2$と点Bの中点をP$_3$とする．以下同様に繰り返し，点P$_n$と点Aの中点をQ$_n$，点Q$_n$と点Bの中点をP$_{n+1} \ (n =1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．点P$_n$の$x$座標を$a_n$とするとき，$a_n$を$n$の式で表し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線
\[ C:\quad y=\frac{1}{2}x+\sqrt{\frac{1}{4}x^2+2} \]
と，その上の相異なる$2$点$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$を考える．

(1)$\mathrm{P}_i \ (i=1,\ 2)$を通る$x$軸に平行な直線と，直線$y=x$との交点を，それぞれ$\mathrm{H}_i \ (i=1,\ 2)$とする．このとき$\triangle \mathrm{OP}_1 \mathrm{H}_1$と$\triangle \mathrm{OP}_2 \mathrm{H}_2$の面積は等しいこと示せ．
(2)$x_1<x_2$とする．このとき$C$の$x_1\leqq x\leqq x_2$の範囲にある部分と，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{O}$，$\mathrm{P}_2 \mathrm{O}$で囲まれる図形の面積を，$y_1$，$y_2$を用いて表せ．

$C$を半径$1$の円周とし，$\mathrm{A}$を$C$上の$1$点とする．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が$\mathrm{A}$を時刻$t=0$に出発し，$C$上を各々一定の速さで，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は反時計回りに，$\mathrm{R}$は時計回りに，時刻$t=2\pi$まで動く．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の速さは，それぞれ$m$，$1$，$2$であるとする．（したがって，$\mathrm{Q}$は$C$をちょうど一周する．）ただし，$m$は$1\leqq m \leqq 10$をみたす整数である．$\triangle \mathrm{PQR}$が$\mathrm{PR}$を斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ$m$と時刻$t$の組をすべて求めよ．

放物線$y=x^2$と直線$y=ax+b$によって囲まれる領域を
\[ D=\{(x,\ y) \; | \; x^2 \leqq y \leqq ax+b \} \]
とし，$D$の面積が$\displaystyle \frac{9}{2}$であるとする．座標平面上で，$x$座標，$y$座標が共に整数である点を格子点と呼ぶ．

(1)$a=0$のとき，$D$に含まれる格子点の個数を求めよ．
(2)$a,\ b$が共に整数であるとき，$D$に含まれる格子点の個数は，$a,\ b$の値によらず一定であることを示せ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$4$つの面はすべて合同であり，$\mathrm{OA}=3$，$\mathrm{OB}=\sqrt{7}$，$\mathrm{AB}=2$であるとする．また，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む平面を$L$とする．

(1)点$\mathrm{C}$から平面$L$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)$0<t<1$をみたす実数$t$に対して，線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$各々を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}_t$，$\mathrm{Q}_t$とおく．$2$点$\mathrm{P}_t$，$\mathrm{Q}_t$を通り，平面$L$に垂直な平面を$M$とするとき，平面$M$による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値を求めよ．