$a>0$とする．放物線$\displaystyle C : y = \frac{a}{2}x^2$上の点P$\displaystyle \left(1,\ \frac{a}{2} \right)$を通り，Pを通る接線に直交する直線を$\ell$，$y$軸と$\ell$との交点をQとするとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)線分PQ，$y$軸および放物線$C$で囲まれる図形の面積を$S_1$とする．$S_1$の値を最小にする$a$の値を求めよ．
(3)直線$\ell$，$y$軸，直線$x = -1$および放物線$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_2 = 2S_1$となる$a$の値を求めよ．

連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0 \]
の表す領域を$D$，原点を通る傾き$\displaystyle \tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$の直線を$\ell$とする．$D$を$\ell$のまわりに1回転させてできる回転体の体積を$V$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < 0$のとき，$V$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$のとき，$V$の最大値，最小値を求めよ．

連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0 \]
の表す領域を$D$，原点を通る傾き$\displaystyle \tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$の直線を$\ell$とする．$D$を$\ell$のまわりに1回転させてできる回転体の体積を$V$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < 0$のとき，$V$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$のとき，$V$の最大値，最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0,\ x \neq 1$とする．方程式$\log_2 x+2\log_x 2=3$を解け．
(2)$x>0,\ x \neq 2,\ y>0$とする．次の連立方程式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\log_{\frac{x}{2}}y=2 \\
xy=16
\end{array}
\right. \]
(3)$x>0,\ x \neq 2,\ y>0$とする．次の連立方程式の表す領域を図示せよ．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\log_{\frac{x}{2}}y<2 \\
xy<16
\end{array}
\right. \]

数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$を次のように定める．
\begin{itemize}
$a_1=1$とする．
$\displaystyle a_n \geqq \frac{5}{4}(n+1)$であれば，$a_{n+1}=a_n-1$とする．
$\displaystyle a_n < \frac{5}{4}(n+1)$であれば，$a_{n+1}=a_n+2$とする．
\end{itemize}
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_6$を求めよ．
(2)$a_{4m-1}=5m \ (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(3)$a_n > 2010$となる最小の$n$を求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，関数
\[ f(x) = \frac{\sin x}{9+16 \sin^2 x} \]
を考える．次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)関数$f(x)$が最大値をとる$x$の値を$a$とするとき，定積分
\[ \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx \]
を求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，関数
\[ f(x) = \frac{\sin x}{9+16 \sin^2 x} \]
を考える．次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)関数$f(x)$が最大値をとる$x$の値を$a$とするとき，定積分
\[ \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx \]
を求めよ．

$a$を実数とする．3つの放物線$y = 4x^2,\ y = 2x^2 +2,\ y = (x-a)^2$のうち少なくとも
2つの上にある点の個数を$m$とする．

(1)$a=1$のとき$m$の値を求めよ．
(2)$a=3$のとき$m$の値を求めよ．
(3)$1<a<3$のとき$m$の値を求めよ．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{x^2}{2}$を考える．$0<a<\sqrt{2}$を満たす定数$a$に対して，点$\displaystyle \left(a^3,\ \frac{3a^2}{2}+1 \right)$をPで表す．

(1)点Pと$C$上の点$\displaystyle \left( t,\ \frac{t^2}{2}\right)$との距離が最小となる$t$を$a$を用いて表せ．
(2)(1)で求めた$t$に対して，点$\displaystyle \left( t,\ \frac{t^2}{2}\right)$をQとおく．点Qにおける$C$の接線と，直線PQは直交することを示せ．
(3)点Pと点Qとの距離が最大となるように$a$を定めよ．

平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=2t-t^2,\quad y=1-t^2 \quad (0 \leqq t \leqq 1) \]
で与えられている．このとき，点Pの描く曲線を$C$とおく．

(1)$0<t<1$の範囲で，点Pの速さ(速度の大きさ)が最小になる時刻$t$を求めよ．
(2)(1)で求めた時刻$t$に対応する$C$上の点における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$は，接点以外に共有点を持たないことを示せ．
(4)曲線$C$，接線$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．