$f(x) = x^3 +3x^2 -9x$とする．$y < x < a$を満たすすべての$x,\ y$に対して
\[ f(x) > \frac{(x−y)f(a) + (a-x)f(y)}{a−y} \]
が成り立つような$a$の範囲を求めよ．

$\displaystyle a_n = \frac{1}{n(n+1)}$を第$n$項とする数列を，次のように奇数個ずつの群に分ける．
\begin{eqnarray}
& & \{a_1\},\quad \{a_2,\ a_3,\ a_4 \},\quad \{a_5,\ a_6,\ a_7,\ a_8,\ a_9\},\ \cdots \quad \nonumber \\
& & \text{第$1$群} \qquad \ \text{第$2$群} \qquad \qquad \quad \ \text{第$3$群} \nonumber
\end{eqnarray}
$k$を自然数として，以下の問いに答えよ．

(1)第$k$群の最初の項を求めよ．
(2)第$k$群に含まれるすべての項の和$S_k$を求めよ．
(3)$\displaystyle (k^2+1)S_k \leqq \frac{1}{100}$を満たす最小の自然数$k$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式
\[ (|x|-2)^2+(|y|-2)^2 \leqq 1 \]
の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)1個のさいころを4回投げ，$n$回目$(n = 1,\ 2,\ 3,\ 4)$に出た目の数を$a_n$とする．このとき
\[ (x,\ y) = (a_1-a_2,\ a_3-a_4) \]
が(1)の領域に含まれる確率を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 1$に対して
\[ f(x)=\int_0^1 e^{-|t-x|}t(1-t) \, dt \]
と定める．ただし，$e=2.718 \cdots$は自然対数の底である．

(1)不定積分$\displaystyle I_1=\int te^t \, dt,\ I_2=\int t^2e^t \, dt$を求めよ．
(2)$f(x)$を$x$の指数関数と多項式を用いて表せ．
(3)$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で極大となることを示せ．

座標平面において，点P$_n(a_n,\ b_n) \ (n \geqq 1)$を
\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{c}
a_1 \\
b_1
\end{array}
\right) &=& \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array}
\right) \nonumber \\
\left(
\begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array}
\right) &=& \frac{1}{2} \left(
\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
a_{n-1} \\
b_{n-1}
\end{array}
\right) \quad (n \geqq 2) \nonumber
\end{eqnarray}
で定める．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$a_n,\ b_n$を$n$と$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，自然数$n$に対して，線分P$_n$P$_{n+1}$の長さ$l_n$を求めよ．
(3)(2)で求めた$l_n$に対して，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty l_n$を求めよ．

$k$を定数とする．2次方程式$x^2+(3k-2)x+4k = 0$が2つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち，$\alpha,\ \beta$は$0<\alpha<1<\beta$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$(\beta-\alpha)^2$を$k$を用いて表せ．
(3)$\alpha$と$\beta$の差が整数であるときの$k$および$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．

$k$を定数とする．2次方程式$x^2+(3k-2)x+4k = 0$が2つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち，$\alpha,\ \beta$は$0<\alpha<1<\beta$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$(\beta-\alpha)^2$を$k$を用いて表せ．
(3)$\alpha$と$\beta$の差が整数であるときの$k$および$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$x+x^2 \log x > 0$が成り立つことを示せ．
(2)関数$y = -x^2 \log x$の増減，グラフの凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．

$0<t<3$のとき，連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
0 \leqq y \leqq \sin x \\
0 \leqq x \leqq t-y
\end{array}
\right. \]
の表す領域を$x$軸のまわりに回転して得られる立体の体積を$V(t)$とする．$\displaystyle \frac{d}{dt}V(t)=\frac{\pi}{4}$となる$t$と，そのときの$V(t)$の値を求めよ．

$k$を定数とする．2次方程式$x^2+(3k-2)x+4k = 0$が2つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち，$\alpha,\ \beta$は$0<\alpha<1<\beta$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$(\beta-\alpha)^2$を$k$を用いて表せ．
(3)$\alpha$と$\beta$の差が整数であるときの$k$および$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．