$t>0$とする．平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$と点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$は$(2-t) \overrightarrow{\mathrm{PO}}+2(1-t) \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3t \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}$を$t$を用いて表せ．

(2)線分$\mathrm{OC}$が$\angle \mathrm{AOB}$の$2$等分線となるとき，$\mathrm{C}$は辺$\mathrm{AB}$を$a:b$に内分する点であることを示せ．
(3)$(2)$のとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$a,\ b$を用いて表せ．

$n$を$5$以上の整数とする．座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$n$の円$C_1$と，点$\mathrm{A}$を中心とする半径$1$の円$C_2$がある．$C_2$が$C_1$に外接しながらすべることなく反時計回りに転がるとき，$C_2$上の点$\mathrm{P}$が描く曲線を考える．はじめに$\mathrm{A}$は$(n+1,\ 0)$，$\mathrm{P}$は$(n,\ 0)$の位置にあるものとする．$\mathrm{P}$が$(n,\ 0)$から出発し，再び$(n,\ 0)$に戻るまで，$\mathrm{P}$が描く曲線を$C$とする．線分$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の部分のなす角が$\theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$であるときの$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)区間$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{n}$で$x(\theta)$の増減を調べよ．
(3)$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

座標平面上の楕円$C_1:4x^2+y^2=4$について，以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$1$だけ平行移動した楕円を$C_2$とする．$1 \leqq k \leqq 2$を満たすすべての$k$に対して，直線$\ell:y=kx-3$と$C_2$が$2$個の共有点をもつとき，$p$の値の範囲を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$を定数とする．$C_1$を原点まわりに${75}^\circ$回転した$2$次曲線を
\[ C_3:x^2+axy+by^2+cx+dy+e=0 \]
とするとき，$a,\ b$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$は，すべての正の整数$n$に対して$0 \leqq 3a_n \leqq \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k$を満たしているとする．このとき，すべての$n$に対して$a_n=0$であることを示せ．

$a$を正の実数とする．座標平面において曲線$y=\sin x\ (0 \leqq x \leqq \pi)$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$S$とし，曲線$\displaystyle y=\sin x\ (0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2})$，曲線$\displaystyle y=a\cos x\ (0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2})$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$T$とする．このとき$S:T=3:1$となるような$a$の値を求めよ．

$a$を正の実数とする．座標平面において曲線$y= \sin x\ (0 \leqq x \leqq \pi)と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$S$とし，$曲線$y=\sin x \ \left( 0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2} \right)$，曲線$y=a\cos x\ \left( 0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2} \right)$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$T$とする．このとき$S:T=3:1$となるような$a$の値を求めよ．

$1<a<2$とする．3辺の長さが$\sqrt{3},\ a,\ b$である鋭角三角形の外接円の半径が1であるとする．このとき$a$を用いて$b$を表せ．

次の各問に答えよ．

(1)座標平面上で，点$(1,\ 2)$を通り傾き$a$の直線と放物線$y=x^2$によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$a$が$0 \leqq a \leqq 6$の範囲を変化するとき，$S(a)$を最小にするような$a$の値を求めよ．
(2)$\triangle$ABCにおいて$\text{AB}=2,\ \text{AC}=1$とする．$\angle \text{BAC}$の二等分線と辺BCの交点をDとする．$\text{AD}=\text{BD}$となるとき，$\triangle$ABCの面積を求めよ．

座標平面上の点P$(x,\ y)$が$4x+y \leqq 9,\ x+2y \geqq 4,\ 2x-3y \geqq -6$の範囲を動くとき，$2x+y,\ x^2+y^2$のそれぞれの最大値と最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$k$に対して，次の不等式を示せ．
\[ \frac{1}{2(k+1)}< \int_0^1 \frac{1-x}{k+x}\, dx < \frac{1}{2k} \]
(2)$m>n$であるようなすべての自然数$m$と$n$に対して，次の不等式を示せ．
\[ \frac{m-n}{2(m+1)(n+1)} < \log \frac{m}{n} -\sum_{k=n+1}^m \frac{1}{k} < \frac{m-n}{2mn} \]